مقالات

7.3.2: مشاكل القيمة الحدودية: مشكلة نيومان


ال مشكلة نيومان (مشكلة قيمة الحد الثانية) هي إيجاد حل (u in C ^ 2 ( Omega) cap C ^ 1 ( overline { Omega}) ) من
ابدأ {eqnarray}
label {N1} tag {7.3.2.1}
مثلث u & = & 0 mbox {in} Omega
label {N2} tag {7.3.2.2}
frac { جزئي u} { جزئي n} & = & Phi mbox {on} جزئي Omega ،
نهاية {eqnarray}
حيث ( Phi ) معطى ومستمر على ( جزئي أوميغا ).

الاقتراح 7.5. افترض أن ( Omega ) مقيد ، فإن حل مشكلة Dirichlet يكون في الفصل (u in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) الذي تم تحديده بشكل فريد حتى ثابت.

دليل - إثبات. ممارسه الرياضه. تلميح: اضرب المعادلة التفاضلية ( مثلث ث = 0 ) في (ث ) ودمج النتيجة على ( أوميغا ).
دليل آخر في ظل الافتراض الأضعف (u in C ^ 1 ( overline { Omega}) cap C ^ 2 ( Omega) ) يتبع من نقطة حد هوبف lemma ، راجع ملاحظات المحاضرة: المعادلات الإهليلجية الخطية للثانية النظام ، على سبيل المثال.


7.3.2: مشاكل القيمة الحدودية: مشكلة نيومان

قبل أن نبدأ في هذا القسم ، نحتاج إلى توضيح أننا سنقوم فقط بخدش سطح موضوع مشاكل القيمة الحدية. هناك ما يكفي من المواد في موضوع مشاكل القيمة الحدية بحيث يمكننا تخصيص فئة كاملة لها. الهدف من هذا القسم هو إلقاء نظرة مختصرة (ونعني باختصار شديد) على فكرة مشاكل القيمة الحدية وإعطاء معلومات كافية للسماح لنا بعمل بعض المعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية في الفصل التالي.

الآن ، مع هذا بعيدًا عن الطريق ، فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هو تحديد ما نعنيه فقط بمشكلة القيمة الحدية (BVP اختصارًا). مع مشاكل القيمة الأولية ، كان لدينا معادلة تفاضلية وحددنا قيمة الحل وعددًا مناسبًا من المشتقات في نفس النقطة (تسمى مجتمعة الشروط الأولية). على سبيل المثال ، بالنسبة لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، تكون الشروط الأولية ،

مع مشاكل القيمة الحدية ، سيكون لدينا معادلة تفاضلية وسوف نحدد الوظيفة و / أو المشتقات في مختلف النقاط ، والتي سنسميها قيم الحدود. بالنسبة للمعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، والتي سيتم النظر فيها بشكل حصري إلى حد كبير هنا ، يمكن استخدام أي مما يلي لشروط الحدود.

كما ذكرنا أعلاه ، سننظر إلى حد كبير بشكل حصري في المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. سنقتصر أيضًا على المعادلات التفاضلية الخطية. لذلك ، لأغراض مناقشتنا هنا ، سننظر بشكل حصري تقريبًا في المعادلات التفاضلية في النموذج ،

[يبدأy '' + p left (x right) y '+ q left (x right) y = g left (x right) labelنهاية]

جنبًا إلى جنب مع إحدى مجموعات شروط الحدود الواردة في ( eqref) - ( eqref). سننظر ، في بعض الأحيان ، في بعض شروط الحدود المختلفة ولكن المعادلة التفاضلية ستكون دائمًا على ذلك يمكن كتابتها في هذا النموذج.

كما سنرى قريبًا الكثير مما نعرفه عن مشكلات القيمة الأولية لن يصح هنا. يمكننا بالطبع حل ( eqref) بشرط أن تكون المعاملات ثابتة ولحالات قليلة لا تكون فيها كذلك. لن يتغير شيء من ذلك. تنشأ التغييرات (وربما المشاكل) عندما ننتقل من الظروف الأولية إلى الشروط الحدودية.

أحد التغييرات الأولى هو التعريف الذي رأيناه طوال الوقت في الفصول السابقة. قلنا في الفصول السابقة أن المعادلة التفاضلية كانت متجانسة إذا (ز يسار (س يمين) = 0 ) للجميع (س ). هنا سوف نقول أن مشكلة القيمة الحدية هي متجانس إذا كان بالإضافة إلى (g left (x right) = 0 ) لدينا أيضًا ( = 0 ) و ( = 0 ) (بغض النظر عن شروط الحدود التي نستخدمها). إذا لم يكن أي من هؤلاء صفرًا ، فسوف نتصل بـ BVP غير متجانسة.

من المهم أن نتذكر الآن أنه عندما نقول متجانسة (أو غير متجانسة) فإننا نقول شيئًا ليس فقط عن المعادلة التفاضلية نفسها ولكن أيضًا عن شروط الحدود أيضًا.

أكبر تغيير سنراه هنا يأتي عندما نذهب لحل مشكلة القيمة الحدية. عند حل مشاكل القيمة الأولية الخطية ، سيتم ضمان حل فريد في ظل ظروف معتدلة للغاية. نظرنا في هذه الفكرة فقط من أجل IVP من الدرجة الأولى ولكن الفكرة تمتد إلى IVP من الدرجة الأعلى. في هذا القسم ، رأينا أن كل ما نحتاجه لضمان حل فريد هو بعض شروط الاستمرارية الأساسية. مع مشاكل القيمة الحدية ، لن يكون لدينا غالبًا حل أو العديد من الحلول اللانهائية حتى بالنسبة للمعادلات التفاضلية اللطيفة جدًا التي من شأنها أن تسفر عن حل فريد إذا كان لدينا شروط أولية بدلاً من الشروط الحدودية.

قبل أن نبدأ في حل بعض هذه ، دعونا نتناول السؤال التالي عن سبب حديثنا عنها في المقام الأول. كما سنرى في الفصل التالي في عملية حل بعض المعادلات التفاضلية الجزئية ، سنواجه مشاكل في القيمة الحدودية والتي يجب حلها أيضًا. في الواقع ، سيكون جزء كبير من عملية الحل في التعامل مع حل BVP. في هذه الحالات ، ستمثل الشروط الحدودية أشياء مثل درجة الحرارة في أي من طرفي العارضة ، أو تدفق الحرارة إلى / خارج أي من طرفي الشريط. أو ربما يمثلون موقع نهايات الوتر المهتز. لذا ، فإن الشروط الحدودية ستكون هناك بالفعل شروط على حدود بعض العمليات.

لذلك ، مع وجود بعض العناصر الأساسية بعيدًا عن الطريق ، فلنبحث عن بعض الحلول لبعض مشاكل القيمة الحدودية. لاحظ أيضًا أنه لا يوجد شيء جديد هنا حتى الآن. نعرف كيف نحل المعادلة التفاضلية ونعرف كيفية إيجاد الثوابت بتطبيق الشروط. الاختلاف الوحيد هو أننا هنا سنطبق شروطًا حدية بدلاً من الشروط الأولية.

حسنًا ، هذه معادلة تفاضلية بسيطة يجب حلها ولذا سنترك الأمر لك للتحقق من أن الحل العام لذلك هو ،

[ص يسار (س يمين) = cos يسار (<2x> يمين) + خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

كل ما علينا فعله الآن هو تطبيق شروط الحدود.

[y left (x right) = - 2 cos left (<2x> right) + 10 sin left (<2x> right) ]

لقد ذكرنا أعلاه أن بعض مشاكل القيمة الحدودية لا يمكن أن يكون لها حلول أو حلول غير محدودة ، كان من الأفضل أن نقوم ببعض الأمثلة على ذلك أيضًا هنا. ستوضح هذه المجموعة التالية من الأمثلة أيضًا مدى ضآلة التغيير في BVP الذي يتطلبه الانتقال إلى هذه الاحتمالات الأخرى.

نحن نعمل بنفس المعادلة التفاضلية مثل المثال الأول ، لذلك لا يزال لدينا ،

[ص يسار (س يمين) = cos يسار (<2x> يمين) + خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

عند تطبيق شروط الحدود التي نحصل عليها ،

[يبدأ - 2 & = ص يسار (0 يمين) = - 2 & = y left (<2 pi> right) = نهاية]

لذلك ، في هذه الحالة ، على عكس المثال السابق ، يخبرنا كلا الشرطين الحديين أنه يجب أن يكون لدينا ( = - 2 ) ولم يخبرنا أي منهما بأي شيء عن (). تذكر مع ذلك أن كل ما نطلبه هو حل للمعادلة التفاضلية التي تلبي شرطي الحدود المعينين وستقوم الوظيفة التالية بذلك ،

[y left (x right) = - 2 cos left (<2x> right) + خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

بمعنى آخر ، بغض النظر عن قيمة () نحصل على حل وهكذا ، في هذه الحالة نحصل على عدد لا نهائي من الحلول لمشكلة القيمة الحدية.

مرة أخرى ، لدينا الحل العام التالي ،

[ص يسار (س يمين) = cos يسار (<2x> يمين) + خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

هذه المرة تمنحنا شروط الحدود ،

[يبدأ - 2 & = ص يسار (0 يمين) = 3 & = y left (<2 pi> right) = نهاية]

في هذه الحالة ، لدينا مجموعة من الشروط الحدودية التي يتطلب كل منها قيمة مختلفة لـ () من أجل أن تكون راضيًا. هذا ، مع ذلك ، غير ممكن وكذلك في هذه الحالة لا حل.

لذلك ، في المثالين 2 و 3 ، يمكننا أن نرى أن تغييرًا بسيطًا فقط في شروط الحدود ، فيما يتعلق ببعضها البعض وبالمثال 1 ، يمكن أن يغير طبيعة الحل تمامًا. استخدمت كل هذه الأمثلة الثلاثة نفس المعادلة التفاضلية ، ومع ذلك تمخضت مجموعة مختلفة من الشروط الأولية ، أو عدم وجود حلول ، أو حل واحد ، أو العديد من الحلول غير المحدودة.

لاحظ أن هذا النوع من السلوك لا يمكن التنبؤ به دائمًا. إذا استخدمنا الشرطين (y left (0 right) ) و (y left (<2 pi> right) ) فإن الطريقة الوحيدة التي سنحصل بها على حل لمشكلة القيمة الحدية هي اذا كان لدينا،

[y left (0 right) = a hspace <0.25in> y left (<2 pi> right) = a ]

لأي قيمة من (أ ). لاحظ أيضًا أنه إذا كانت لدينا شروط الحدود هذه ، فسنحصل في الواقع على العديد من الحلول بشكل لا نهائي.

تضمنت جميع الأمثلة التي عملناها حتى هذه النقطة نفس المعادلة التفاضلية ونفس النوع من شروط الحدود ، لذا فلنعمل على زوجين آخرين فقط للتأكد من حصولنا على المزيد من الأمثلة هنا. لاحظ أيضًا أنه مع كل من هذه الأمور ، يمكننا تعديل الشروط الحدودية قليلاً للحصول على أي من سلوكيات الحل الممكنة لتظهر (بمعنى آخر. صفر ، حل واحد أو عدد لا نهائي من الحلول).

الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو ،

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

في هذه الحالة نحصل على حل واحد ،

[y left (x right) = 7 cos left (< sqrt 3 ، x> right) - 7 cot left (<2 sqrt 3 ، pi> right) sin يسار (< sqrt 3 ، x> right) ]

هنا الحل العام ،

[ص يسار (س يمين) = cos يسار (<5x> يمين) + خطيئة يسار (<5x> يمين) ]

وسنحتاج إلى المشتق لتطبيق شروط الحدود ،

[ص يسار (س يمين) = - 5 sin left (<5x> right) + 5 cos يسار (<5x> يمين) ]

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

[يبدأ6 & = ص ' يسار (0 يمين) = 5 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = frac <6> <5> - 9 & = y ' left ( pi right) = - 5 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = فارك <9> <5> نهاية]

هذا غير ممكن وهكذا في هذه الحالة لا حل.

كانت جميع الأمثلة التي عملت حتى هذه النقطة غير متجانسة لأن شرطًا واحدًا على الأقل من الشروط الحدودية كان غير صفري. لنعمل على مثال واحد غير متجانس حيث تكون المعادلة التفاضلية أيضًا غير متجانسة قبل أن نعمل على مثالين متجانسين.

الحل التكميلي لهذه المعادلة التفاضلية هو ،

[ يسار (س يمين) = cos يسار (<3 ، x> يمين) + sin left (<3 ، x> right) ]

باستخدام معاملات غير محددة أو تنوع المعامِلات ، من السهل إظهار (سنترك التفاصيل لك للتحقق) أن حلًا معينًا ،

الحل العام ومشتقاته (لأننا سنحتاج ذلك لشروط الحدود) هي ،

[يبدأص يسار (س يمين) & = cos يسار (<3 ، x> يمين) + sin left (<3 ، x> right) + frac <1> <8> cos x y ' left (x right) & = - 3 sin left (<3 ، x> right) + 3 cos left (<3 ، x> right) - frac <1> <8> sin x end]

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

ثم تخبرنا شروط الحدود أنه يجب أن يكون لدينا ( = frac <5> <3> ) وهم لا يخبروننا بأي شيء عن () وبالتالي يمكن اختياره بشكل تعسفي. الحل إذن ،

[ص يسار (س يمين) = cos left (<3 ، x> right) + frac <5> <3> sin left (<3 ، x> right) + frac <1> <8> cos x ]

وسيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول لـ BVP.

لنعمل الآن على بعض الأمثلة المتجانسة التي ستكون مفيدة أيضًا عندما ننتقل إلى القسم التالي.

هنا الحل العام ،

[ص يسار (س يمين) = cos يسار (<2x> يمين) + خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

وبالتالي () تعسفي والحل هو

[ص يسار (س يمين) = خطيئة يسار (<2x> يمين) ]

وفي هذه الحالة سنحصل على عدد لا نهائي من الحلول.

الحل العام في هذه الحالة هو

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

[يبدأ0 & = ص يسار (0 يمين) = 0 & = y left (<2 pi> right) = sin left (<2 sqrt 3 ، pi> right) hspace <0.25in> rightarrow hspace <0.25in> = 0 نهاية]

في هذه الحالة وجدنا أن كلا الثوابت يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن الحل هو ،

في المثال السابق كان الحل (y left (x right) = 0 ). مع ذلك ، لاحظ أن هذا سيكون دائمًا حلاً لأي نظام متجانس يقدمه ( eqref) وأي من شروط الحدود (المتجانسة) التي قدمها ( eqref) - ( eqref). لهذا السبب نسمي هذا الحل عادة ب حل تافه. في بعض الأحيان ، كما في حالة المثال الأخير ، يكون الحل البسيط هو الحل الوحيد ، ولكننا نفضل عمومًا أن تكون الحلول غير تافهة. ستكون هذه فكرة رئيسية في القسم التالي.

قبل أن نغادر هذا القسم ، يجب توضيح نقطة مهمة. في كل من الأمثلة ، باستثناء واحد ، كانت المعادلة التفاضلية التي تم حلها في الشكل ،

الاستثناء الوحيد لهذا لا يزال يحل هذه المعادلة التفاضلية إلا أنها لم تكن معادلة تفاضلية متجانسة ولذا كنا لا نزال نحل هذه المعادلة التفاضلية الأساسية بطريقة ما.

لذا ، من المحتمل أن يكون هناك العديد من الأسئلة الطبيعية التي يمكن أن تثار في هذه المرحلة. هل تشتمل جميع قيم BVP على هذه المعادلة التفاضلية ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فلماذا قضينا وقتًا طويلاً في حل هذه المعادلة لاستبعاد جميع المعادلات التفاضلية المحتملة الأخرى؟

الإجابات على هذه الأسئلة بسيطة إلى حد ما. أولاً ، هذه المعادلة التفاضلية بالتأكيد ليست الوحيدة المستخدمة في مسائل القيمة الحدية. ومع ذلك ، فإنه يعرض كل السلوك الذي أردنا التحدث عنه هنا وله ميزة إضافية تتمثل في كونه سهل الحل للغاية. لذلك ، باستخدام هذه المعادلة التفاضلية بشكل حصري تقريبًا ، يمكننا رؤية ومناقشة السلوك المهم الذي نحتاج إلى مناقشته وتحريرنا من الكثير من تفاصيل الحلول التي يحتمل أن تكون فوضوية و / أو الحلول الفوضوية. سننظر في بعض الأحيان إلى المعادلات التفاضلية الأخرى في بقية هذا الفصل ، لكننا سنظل نعمل بشكل حصري تقريبًا مع هذا المعادلة.

هناك سبب آخر مهم للنظر في هذه المعادلة التفاضلية. عندما ننتقل إلى الفصل التالي ونلقي نظرة مختصرة على حل المعادلات التفاضلية الجزئية ، سنرى أن كل الأمثلة التي سنعمل عليها تقريبًا تصل إلى هذه المعادلة التفاضلية بالضبط. أيضًا ، في هذه المشكلات ، سنعمل على بعض المشكلات "الحقيقية" التي يتم حلها فعليًا في بعض الأماكن ، وبالتالي فهي ليست مجرد مشكلات "مختلقة" لأغراض الأمثلة. من المسلم به أنه سيكون لديهم بعض التبسيط ، لكنهم يقتربون من مشكلة واقعية في بعض الحالات.


Amrouche، C.، Girault، V.، Giroire، J: مشاكل Dirichlet and Neumann الخارجية الخاصة بـ نعامل لابلاس ذو الأبعاد: نهج في فضاءات سوبوليف الموزونة. J. الرياضيات. بوريس أب. 76, 55–81 (1997)

أتوش ، إتش ، باتازو ، جي ، ميشيل ، جي: التحليل المتباين في فضاءات سوبوليف وبي في. سيام ، فيلادلفيا (2006)

Auchmuty، G: Steklov eigenproblems وتمثيل حلول مشاكل قيمة الحدود البيضاوية. رقم. Funct. شرجي. الأمثل. 25, 321–348 (2004)

أوكموتي ، جي: الأمثل عدم المساواة القسرية في دبليو 1,ص (Ω). بروك. R. Soc. إدينب. أ 135, 915–933 (2005)

أوكموتي ، جي: التوصيفات الطيفية لمسافات التتبع ح س (∂Ω). SIAM J. Math. شرجي. 38, 894–905 (2006)

Auchmuty، G: أسس ونتائج المقارنة لمشكلات eigenprobleme الخطية. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 390, 394–406 (2012)

Auchmuty ، G. ، Han ، Q: التمثيلات الطيفية لحلول المعادلات الإهليلجية الخطية على المناطق الخارجية. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 398, 1–10 (2013)

بريزيس ، هـ: التحليل الوظيفي ، مسافات سوبوليف والمعادلات التفاضلية الجزئية. سبرينغر ، نيويورك (2011)

Dautray ، R. ، Lions ، J.-L: التحليل الرياضي والطرق العددية للعلوم والتكنولوجيا. المجلد الأول. سبرينغر ، نيويورك (1990)

ديبينديتو ، إي: تحليل حقيقي. بيرخاوسر بوسطن ، بوسطن (2002)

إيفانز ، إل سي: المعادلات التفاضلية الجزئية ، الطبعة الثانية. الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس (2010)

Evans، LC، Gariepy، RF: قياس النظرية والخصائص الدقيقة للوظائف. مطبعة CRC ، بوكا راتون (1992)

فولاند ، جي: مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية ، الطبعة الثانية. مطبعة جامعة برينستون ، برينستون (1995)

جيريوير ، جي ، نيديليك ، جي سي: الحل العددي لمشكلة نيومان الخارجية باستخدام جهد الطبقة المزدوجة. رياضيات. حاسوب. 32, 973–990 (1978)

Grisvard ، P: مشاكل الاهليلج في المجالات غير الملساء. بيتمان ، بوسطن (1985)

Kellogg ، O.D: أسس النظرية المحتملة. سبرينغر ، برلين (1967)

Lieb، E.، Loss، M: Analysis، 2nd edn. الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس (2001)

Maz'ya، VG، Poborchi، S.V: وظائف مختلفة في المجالات السيئة. العالم العلمي ، ريفر إيدج (1997)

ماكلين ، دبليو: أنظمة إهليلجية قوية ومعادلات تكامل الحدود. مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج (2000)

ميدكوفا ، د: مشكلة النقل لمعادلة لابلاس وطريقة المعادلة المتكاملة. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 387, 837–843 (2012)

Nédélec ، J.-C: المعادلات الصوتية والكهرومغناطيسية. سبرينغر ، نيويورك (2001)

Simader ، C.G. ، Sohr ، H: The Dirichlet Problem for the Laplacian in Bounded and Unbounded Domains. نهج جديد للضعف والقوة و (2+ك) -حلول في مساحات من نوع سوبوليف. لونجمان ، هارلو (1996)

فارنهورن ، دبليو: معادلة بواسون بالأوزان في المجالات الخارجية لـ ر ن . تطبيق شرجي. 43, 135–145 (1992)


3 المادية

أسئلة حول الفيزياء المطبقة (شروط الحدود وما شابهها)

3.1 عام

3.1.1 ما معنى الحقل X.

يمكن العثور هنا على جدول الحقول الأكثر شيوعًا التي يكتبها برنامج OpenFOAM-solvers.

3.1.2 أين يمكنني إدخال كثافة السوائل لـ icoFoam و turbFoam والمذيبات الأخرى غير القابلة للضغط؟

أنت لا تفعل. بدلا من اللزوجة الديناميكية اللزوجة الحركية يستخدم من قبل OpenFOAM- solvers.

ملحوظة: الضغط يجب أن يتم تطبيعه مع الكثافة أيضًا. إحدى نتائج ذلك أن أبعاد الضغط تصبح ضغطًا مقسومًا على الكثافة.

3.1.3 ما هو المجال فاي أن حلالا يكتب

تدفق الكتلة من خلال وجوه الخلية ( مع منطقة الوجه). انظر أيضا هذا الجدول

3.2 شروط الحدود

3.2.1 ما هو الفرق بين التناظر وظروف حد الانحدار الصفري؟

ال صفر التدرج يعيّن شرط الحدود قيمة الحد إلى قيمة الخلية القريبة من الجدار.

أ التناظر شرط الحدود هو مستوى تناظر يكافئ a صفر التدرج للكميات ، ولكن ليس للناقلات أو الموترات.

3.2.2 ماذا تعني معلمة lInf في حالة حد الضغط الناقل؟

lInf هو مقياس طول الاسترخاء (بالمتر) لموجات الضغط الخارجة للعودة إلى pInf. هذا يوقف الضغط في المجال من التعويم إذا لم يتم تحديد ضغط المدخل. (المصدر: [11])

3.3 نمذجة الاضطراب

3.3.1 كيف يتم تعطيل وتمكين وظائف الحائط لـ RANS؟

تشتمل جميع نماذج الاضطراب المرتفع Re RANS على وظائف الجدار لأنه من غير المناسب استخدامها بدونها. تعمل طرز low-Re فقط بدون وظائف الجدار لأنها تتضمن معالجات جدار خاصة بالطراز.

3.4 نماذج إضافية

هل تم استخدام OpenFOAM لحساب هذا النوع من المشكلات؟

3.4.1 نموذج سائل أويلير الثاني والتدفق الحبيبي

يتم تنفيذها في twoPhaseEulerFoam.

3.4.2 التدفقات اللزجة المرنة؟

تم القيام به. سيتم اطلاق سراح. لمزيد من التفاصيل انظر هذا الموضوع على لوحة الرسائل.


أوامر ماتلاب

لنفترض أننا نرغب في حل نظام المعادلات n ، d y d x = f (x ، y) ، بشروط مطبقة عند نقطتين مختلفتين x = a و x = b.

من أجل استخدام أدوات حل MATLAB ODE المدمجة ، عليك اتباع الخطوات التالية:

    بناء وظيفة (وتسمى هنا deriv) التي لديها حجج المدخلات س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa @ 36EA @ وص = (ص 1، ⋯، YN) MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyEaiabg2da9iaacIcacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiabl + UimjaacYcacaWG5bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaiykaaaa @ 40B2 @ وإرجاع قيمة dydx مشتق MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq = = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = = XFR xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaaCyEaaqaaiaadsgacaWG4baaaaaa @ 39CE @، وهذا هو و (س، ص) MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOzaiaacIcacaWG4bGaaiilaiaahMhacaGGPaaaaa @ 3AE4 @.

بناء وظيفة (وتسمى هنا BCS) التي لديها حجج المدخلات ص (أ) MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyEaiaacIcacaWGHbGaaiykaaaa @ 392E @ و y (ب) MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyEaiaacIcacaWGIbGaaiykaaaa @ 392F @ وإرجاع قيمة المتبقية لكل حالة الحدود المحدد. على سبيل المثال لتطبيق ص 1 (أ) = 1 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacIcacaWGHbGaaiykaiabg2da9iaaigdaaaa @ 3BDC @ وذ 1 (ب) = 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacIcacaWGIbGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa @ 3BDC @ استخدام

تطبيق الشروط على المتغيرات الأخرى، ص 2 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaaa @ 37D3 @، الخ تغيير المؤشر إلى ya (2) أو YB (2)، ل مثال.

حدد مجال الحل وقدم تخمينًا أوليًا للحل في مجال الحل. استخدم الأمر

هذا يحدد مجال الحل على أنه [أ ، ب] ، والتخمين الأولي للحل عند النقاط المحددة في المجال على أنه [0،0]. (لاحظ أنه يمكننا استخدام تخمين أولي أكثر دقة ، وهو تحديد المجال باستخدام linspace (أ ، ب ، 100) ثم تحديد الحل لهذه النقاط.)

المعلمات المختلفة هي:

  • deriv، مقبض لوظيفة معينة س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa @ 36EA @ و y MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = = XFR xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyEaaaa @ 36EF @ إرجاع قيمة dydx مشتق MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaaCyEaaqaaiaadsgacaW G4baaaaaa @ 39CE @
  • bcs ، مؤشر لوظيفة تحدد شروط الحدود
  • solinit ، الهيكل الذي يحدد مجال الحل وهذا التخمين الأولي في الحل و
  • sol ، وهي بنية تحتوي على الحل.

هذا موضح في المثال الإرشادي التالي.

تجول

لنفترض أننا نرغب في حل مشكلة القيمة الحدية التالية.

تخضع لـ y '(0) = 1 و y (π) = 0.

الحل الدقيق هو y = sin ⁡ (x).

لحل هذه المشكلة عدديًا ، نحتاج أولاً إلى تقليل معادلة الدرجة الثانية إلى نظام معادلات من الدرجة الأولى ،

حيث z (0) = 1 و y (π) = 0.

رمز المثال لحل هذا معطى من قبل

لتشغيل هذا الرمز ، قم بتنزيله إلى دليل العمل الحالي واستخدم الأمر التالي

العناصر الرئيسية لهذا الرمز هي

  • solinit = bvpinit ([0، pi]، [0،0])
    الذي يحدد مجال الحل من خلال [0 ، π] والتخمين الأولي للحل عند النقاط المحددة في المجال ، [0 ، 0].
  • sol = bvp4c (@ deriv، @ bcs، solinit)
    وهو الاستدعاء إلى bvp4c solver ، المعلمات المختلفة هي:
    • deriv، مؤشر إلى وظيفة أن عوائد قيمة dydx مشتق MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG4baaaaaa @ 39CA @ لإعطاء س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa @ 36EA @ و y MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaaba aGcbaGaamyEaaaa @ 36EB @
    • bcs هو مؤشر لوظيفة تحدد شروط الحدود و
    • solinit هو الهيكل الذي يحدد مجال الحل والتخمين الأولي.

    يؤدي تشغيل الكود (باستخدام SolveBVP) إلى إنتاج الرسم البياني التالي

    يتم رسم هذا مقابل الحل الدقيق ، y = sin ⁡ (x) ، في الشكل التالي.

    يمثل الخط الأحمر الحل الفعلي وتظهر الصلبان الزرقاء الحل العددي من bvp4c.


    محتويات

    تسمح ميكانيكا الكم بحساب خصائص وسلوك الأنظمة الفيزيائية. يتم تطبيقه عادةً على الأنظمة المجهرية: الجزيئات والذرات والجسيمات دون الذرية. لقد ثبت أنه يحمل جزيئات معقدة تحتوي على آلاف الذرات ، [4] ولكن تطبيقه على البشر يثير مشاكل فلسفية ، مثل صديق Wigner ، وتطبيقه على الكون ككل يظل تخمينيًا. [5] تم التحقق من تنبؤات ميكانيكا الكم بشكل تجريبي بدرجة عالية من الدقة. [ملاحظة 1]

    الميزة الأساسية للنظرية هي أنها عادة لا تستطيع التنبؤ على وجه اليقين بما سيحدث ، ولكنها تعطي فقط الاحتمالات. رياضيًا ، يتم العثور على الاحتمال بأخذ مربع القيمة المطلقة لعدد مركب ، المعروف باسم سعة الاحتمال. يُعرف هذا باسم قاعدة Born ، التي سميت على اسم الفيزيائي ماكس بورن. على سبيل المثال ، يمكن وصف جسيم كمي مثل الإلكترون بواسطة دالة موجية ، والتي تربط كل نقطة في الفضاء بسعة احتمالية. إن تطبيق قاعدة Born على هذه السعات يعطي دالة كثافة احتمالية للوضع الذي سيوجد فيه الإلكترون عند إجراء تجربة لقياسه. هذا هو أفضل ما يمكن أن تفعله النظرية لا يمكنها أن تقول على وجه اليقين أين سيتم العثور على الإلكترون. ترتبط معادلة شرودنجر بجمع اتساعات الاحتمالية التي تتعلق بلحظة من الزمن بجمع السعات الاحتمالية التي تتعلق بأخرى.

    إحدى نتائج القواعد الرياضية لميكانيكا الكم هي المقايضة في إمكانية التنبؤ بين الكميات المختلفة القابلة للقياس. يقول الشكل الأكثر شهرة لمبدأ عدم اليقين هذا أنه بغض النظر عن كيفية تحضير الجسيم الكمي أو مدى دقة ترتيب التجارب عليه ، من المستحيل الحصول على تنبؤ دقيق لقياس موقعه وأيضًا في نفس الوقت للقياس. من زخمها.

    من النتائج الأخرى للقواعد الرياضية لميكانيكا الكم ظاهرة التداخل الكمي ، والتي غالبًا ما يتم توضيحها من خلال تجربة الشق المزدوج. في النسخة الأساسية من هذه التجربة ، يضيء مصدر ضوء متماسك ، مثل شعاع الليزر ، صفيحة مثقوبة بشقين متوازيين ، ويلاحظ الضوء الذي يمر عبر الشقوق على شاشة خلف اللوحة. [6]: 102-111 [2]: 1.1-1.8 تتسبب الطبيعة الموجية للضوء في تداخل موجات الضوء التي تمر عبر الشقين ، مما ينتج عنه نطاقات ساطعة ومظلمة على الشاشة - وهي نتيجة غير متوقعة إذا كان الضوء يتكون من الجسيمات الكلاسيكية. [6] ومع ذلك ، وُجد دائمًا أن الضوء يُمتص من الشاشة عند نقاط منفصلة ، حيث يظهر نمط التداخل من خلال الكثافة المتغيرة لضربات هذه الجسيمات على الشاشة كجسيمات فردية بدلاً من الموجات. علاوة على ذلك ، وجدت إصدارات التجربة التي تتضمن كاشفات في الشقوق أن كل فوتون تم اكتشافه يمر عبر شق واحد (مثل الجسيم الكلاسيكي) ، وليس من خلال كلا الشقين (كما هو الحال بالنسبة للموجة). [6]: 109 [7] [8] ومع ذلك ، تُظهر مثل هذه التجارب أن الجسيمات لا تشكل نمط التداخل إذا اكتشف المرء الشق الذي يمر من خلاله. تم العثور على الكيانات الأخرى ذات الحجم الذري ، مثل الإلكترونات ، لإظهار نفس السلوك عند إطلاقها نحو شق مزدوج. [2] يُعرف هذا السلوك بازدواجية موجة-جسيم.

    ظاهرة أخرى غير بديهية تنبأت بها ميكانيكا الكم هي النفق الكمومي: يمكن للجسيم الذي يرتفع مقابل حاجز محتمل أن يعبره ، حتى لو كانت طاقته الحركية أصغر من الحد الأقصى للإمكانات. [9] في الميكانيكا الكلاسيكية يتم حجز هذا الجسيم. النفق الكمي له العديد من النتائج المهمة ، مما يتيح الاضمحلال الإشعاعي ، والاندماج النووي في النجوم ، وتطبيقات مثل الفحص المجهري للأنفاق والصمام الثنائي النفق. [10]

    عندما تتفاعل الأنظمة الكمومية ، يمكن أن تكون النتيجة إنشاء تشابك كمي: تصبح خصائصها متشابكة لدرجة أن وصف الكل فقط من حيث الأجزاء الفردية لم يعد ممكنًا. دعا إروين شرودنغر التشابك ". ال السمة المميزة لميكانيكا الكم ، تلك التي تفرض خروجها بالكامل عن خطوط الفكر الكلاسيكية ". [11] يتيح التشابك الكمي الخصائص غير البديهية للتخاطر الزائف الكمومي ، ويمكن أن يكون مصدرًا قيمًا في بروتوكولات الاتصال ، مثل الكم. توزيع المفاتيح والترميز فائق الكثافة. [12] على عكس الاعتقاد الخاطئ الشائع ، لا يسمح التشابك بإرسال إشارات أسرع من الضوء ، كما يتضح من نظرية عدم الاتصال.

    هناك احتمال آخر فتحه التشابك وهو اختبار "المتغيرات المخفية" ، وهي خصائص افتراضية أكثر جوهرية من الكميات التي تتناولها نظرية الكم نفسها ، والتي من شأنها أن تسمح بتنبؤات أكثر دقة مما يمكن أن توفره نظرية الكم. أظهرت مجموعة من النتائج ، وأهمها نظرية بيل ، أن الفئات العريضة من مثل هذه النظريات المتغيرة الخفية هي في الواقع غير متوافقة مع فيزياء الكم. According to Bell's theorem, if nature actually operates in accord with any theory of local hidden variables, then the results of a Bell test will be constrained in a particular, quantifiable way. Many Bell tests have been performed, using entangled particles, and they have shown results incompatible with the constraints imposed by local hidden variables. [13] [14]

    It is not possible to present these concepts in more than a superficial way without introducing the actual mathematics involved understanding quantum mechanics requires not only manipulating complex numbers, but also linear algebra, differential equations, group theory, and other more advanced subjects. [note 2] Accordingly, this article will present a mathematical formulation of quantum mechanics and survey its application to some useful and oft-studied examples.

    Physical quantities of interest — position, momentum, energy, spin — are represented by observables, which are Hermitian (more precisely, self-adjoint) linear operators acting on the Hilbert space. A quantum state can be an eigenvector of an observable, in which case it is called an eigenstate, and the associated eigenvalue corresponds to the value of the observable in that eigenstate. More generally, a quantum state will be a linear combination of the eigenstates, known as a quantum superposition. When an observable is measured, the result will be one of its eigenvalues with probability given by the Born rule: in the simplest case the eigenvalue λ is non-degenerate and the probability is given by | ⟨ λ → , ψ ⟩ | 2 >,psi angle |^<2>> , where λ → >> is its associated eigenvector. More generally, the eigenvalue is degenerate and the probability is given by ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ psi angle > , where P λ > is the projector onto its associated eigenspace. In the continuous case, these formulas give instead the probability density.

    After the measurement, if result λ was obtained, the quantum state is postulated to collapse to λ → >> , in the non-degenerate case, or to P λ ψ / ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ psi /psi angle >>> , in the general case. The probabilistic nature of quantum mechanics thus stems from the act of measurement. This is one of the most difficult aspects of quantum systems to understand. It was the central topic in the famous Bohr–Einstein debates, in which the two scientists attempted to clarify these fundamental principles by way of thought experiments. In the decades after the formulation of quantum mechanics, the question of what constitutes a "measurement" has been extensively studied. Newer interpretations of quantum mechanics have been formulated that do away with the concept of "wave function collapse" (see, for example, the many-worlds interpretation). The basic idea is that when a quantum system interacts with a measuring apparatus, their respective wave functions become entangled so that the original quantum system ceases to exist as an independent entity. For details, see the article on measurement in quantum mechanics. [17]

    The time evolution of a quantum state is described by the Schrödinger equation:

    Here H denotes the Hamiltonian, the observable corresponding to the total energy of the system, and ℏ is the reduced Planck constant. The constant i ℏ is introduced so that the Hamiltonian is reduced to the classical Hamiltonian in cases where the quantum system can be approximated by a classical system the ability to make such an approximation in certain limits is called the correspondence principle.

    The solution of this differential equation is given by

    Some wave functions produce probability distributions that are independent of time, such as eigenstates of the Hamiltonian. Many systems that are treated dynamically in classical mechanics are described by such "static" wave functions. For example, a single electron in an unexcited atom is pictured classically as a particle moving in a circular trajectory around the atomic nucleus, whereas in quantum mechanics, it is described by a static wave function surrounding the nucleus. For example, the electron wave function for an unexcited hydrogen atom is a spherically symmetric function known as an s orbital (Fig. 1).

    Analytic solutions of the Schrödinger equation are known for very few relatively simple model Hamiltonians including the quantum harmonic oscillator, the particle in a box, the dihydrogen cation, and the hydrogen atom. Even the helium atom – which contains just two electrons – has defied all attempts at a fully analytic treatment.

    However, there are techniques for finding approximate solutions. One method, called perturbation theory, uses the analytic result for a simple quantum mechanical model to create a result for a related but more complicated model by (for example) the addition of a weak potential energy. Another method is called "semi-classical equation of motion", which applies to systems for which quantum mechanics produces only small deviations from classical behavior. These deviations can then be computed based on the classical motion. This approach is particularly important in the field of quantum chaos.

    Uncertainty principle

    One consequence of the basic quantum formalism is the uncertainty principle. In its most familiar form, this states that no preparation of a quantum particle can imply simultaneously precise predictions both for a measurement of its position and for a measurement of its momentum. [19] [20] Both position and momentum are observables, meaning that they are represented by Hermitian operators. The position operator X ^ >> and momentum operator P ^ >> do not commute, but rather satisfy the canonical commutation relation:

    and likewise for the momentum:

    The uncertainty principle states that

    Either standard deviation can in principle be made arbitrarily small, but not both simultaneously. [21] This inequality generalizes to arbitrary pairs of self-adjoint operators A and B . The commutator of these two operators is

    and this provides the lower bound on the product of standard deviations:

    Another consequence of the canonical commutation relation is that the position and momentum operators are Fourier transforms of each other, so that a description of an object according to its momentum is the Fourier transform of its description according to its position. The fact that dependence in momentum is the Fourier transform of the dependence in position means that the momentum operator is equivalent (up to an i / ℏ factor) to taking the derivative according to the position, since in Fourier analysis differentiation corresponds to multiplication in the dual space. This is why in quantum equations in position space, the momentum p i > is replaced by − i ℏ ∂ ∂ x >> , and in particular in the non-relativistic Schrödinger equation in position space the momentum-squared term is replaced with a Laplacian times − ℏ 2 > . [19]

    Composite systems and entanglement

    When two different quantum systems are considered together, the Hilbert space of the combined system is the tensor product of the Hilbert spaces of the two components. For example, let A and B be two quantum systems, with Hilbert spaces H A >_> and H B >_> , respectively. The Hilbert space of the composite system is then

    is a valid joint state that is not separable. States that are not separable are called entangled. [22] [23]

    If the state for a composite system is entangled, it is impossible to describe either component system A or system B by a state vector. One can instead define reduced density matrices that describe the statistics that can be obtained by making measurements on either component system alone. This necessarily causes a loss of information, though: knowing the reduced density matrices of the individual systems is not enough to reconstruct the state of the composite system. [22] [23] Just as density matrices specify the state of a subsystem of a larger system, analogously, positive operator-valued measures (POVMs) describe the effect on a subsystem of a measurement performed on a larger system. POVMs are extensively used in quantum information theory. [22] [24]

    As described above, entanglement is a key feature of models of measurement processes in which an apparatus becomes entangled with the system being measured. Systems interacting with the environment in which they reside generally become entangled with that environment, a phenomenon known as quantum decoherence. This can explain why, in practice, quantum effects are difficult to observe in systems larger than microscopic. [25]

    Equivalence between formulations

    There are many mathematically equivalent formulations of quantum mechanics. One of the oldest and most common is the "transformation theory" proposed by Paul Dirac, which unifies and generalizes the two earliest formulations of quantum mechanics – matrix mechanics (invented by Werner Heisenberg) and wave mechanics (invented by Erwin Schrödinger). [26] An alternative formulation of quantum mechanics is Feynman's path integral formulation, in which a quantum-mechanical amplitude is considered as a sum over all possible classical and non-classical paths between the initial and final states. This is the quantum-mechanical counterpart of the action principle in classical mechanics.


    شاهد الفيديو: تحليل عدديالفصل الرابعمتعددة الحدود لاكرانج أو كثيرة الحدود الاندراج طريقة لاكرانج محاضرة24 (ديسمبر 2021).