# 2.5: المعادلات الخطية - التلاعب والحل (حل اللغز)

أنت تتسوق في Old Navy لشراء سبع أزياء جديدة. كيف تنفق 110 دولارات للحصول على كل الملابس المطلوبة دون تجاوز ميزانيتك مع الحصول على أكبر عدد ممكن من العناصر 30 دولارًا؟

هذه مشكلة معادلات خطية ، وهي توضح كيف يمكنك استخدامها لاتخاذ القرار الأمثل. لنفترض أن (L ) يمثل كمية الملابس عند نقطة السعر المنخفض البالغة 10 دولارات ، و (H ) تمثل كمية الملابس عند نقطة السعر المرتفعة البالغة 30 دولارًا. ينتج عن هذا المعادلات الجبرية التالية:

[L + H = 7 text {(العدد الإجمالي للأزياء التي تحتاجها)} nonumber ]

[ $10 L +$ 30 H = $110 text {(إجمالي ميزانيتك)} nonumber ] من خلال حل هذه المعادلات في نفس الوقت ، يمكنك تحديد عدد الملابس التي يمكنك شراؤها عند كل نقطة سعر. سوف تواجه العديد من المواقف مثل هذه في حياتك المهنية ، على سبيل المثال ، في تحقيق أقصى استفادة من القدرة الإنتاجية للشركة المصنعة. افترض أن شركتك تصنع منتجين على نفس خط الإنتاج وتبيع كل إنتاجها. يساهم كل منتج بشكل مختلف في ربحيتك ، ويستغرق تصنيع كل منتج مقدارًا مختلفًا من الوقت. ما هي مجموعة كل من هذه المنتجات التي يجب أن تصنعها بحيث تشغل خط الإنتاج الخاص بك بسعة مع تعظيم الأرباح المحققة أيضًا؟ يستكشف هذا القسم كيفية حل المعادلات الخطية للمتغيرات غير المعروفة. ## فهم المعادلات لمعالجة المعادلات الجبرية وحل المتغيرات غير المعروفة ، يجب أن تتعرف أولاً على بعض اللغات المهمة ، بما في ذلك المعادلات الخطية مقابل غير الخطية وجوانب المعادلة. الهدف من معالجة وحل المعادلة الخطية هو إيجاد قيمة للمتغير المجهول الذي يجعل المعادلة صحيحة. إذا قمت باستبدال قيمة (x = −1 ) في المثال أعلاه ، فإن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الجانب الأيمن من المعادلة (انظر الشكل أدناه). تُعرف قيمة (x = −1 ) بالجذر أو الحل للمعادلة الخطية. ## حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف في دراستك لحل المعادلات الخطية ، عليك أن تبدأ بمعالجة معادلة واحدة لحل متغير واحد غير معروف. لاحقًا في هذا القسم ، ستمتد من هذا الأساس إلى حل معادلتين خطيتين بهما مجهولان. ### كيف تعمل لتحديد جذر المعادلة الخطية بمتغير واحد غير معروف فقط ، قم بتطبيق الخطوات التالية: الخطوة 1: هدفك الأول هو فصل المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي عن المصطلحات التي لها معاملات عددية فقط. اجمع كل المصطلحات ذات المعاملات الحرفية في جانب واحد فقط من المعادلة واجمع كل المصطلحات باستخدام المعاملات العددية فقط في الجانب الآخر من المعادلة. لا يهم أي المصطلحات تسير في أي جانب من المعادلة ، طالما أنك تفصل بينهما. لنقل مصطلح من أحد جوانب المعادلة إلى جانب آخر ، خذ المقابل الرياضي للمصطلح الذي يتم نقله وأضفه إلى كلا الجانبين. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد تحريك +3 في (4x + 3 = −2x - 3 ) من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن ، فإن المقابل الرياضي للعدد +3 هو −3. عند تحريك أحد المصطلحات ، تذكر القاعدة الأساسية: ما تفعله في جانب واحد من المعادلة يجب أن تفعله أيضًا في الجانب الآخر من المعادلة. كسر هذه القاعدة يكسر المساواة في المعادلة. الخطوة 2: اجمع كل الحدود المتشابهة في كل جانب وقم بتبسيط المعادلة وفقًا لقواعد الجبر. الخطوه 3: في المصطلح الذي يحتوي على المعامل الحرفي ، قم بتقليل المعامل العددي إلى 1 عن طريق قسمة طرفي المعادلة على المعامل العددي. ### ملاحظات هامة عندما لا تكون متأكدًا مما إذا كان الجذر المحسوب دقيقًا ، فإن الطريقة السهلة للتحقق من إجابتك هي أخذ المعادلة الأصلية واستبدال الجذر بدلاً من المتغير. إذا كان لديك الجذر الصحيح ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي الجانب الأيمن من المعادلة. إذا كان لديك جذر غير صحيح ، فسيكون الجانبان غير متساويين. تنتج عدم المساواة عادةً من أحد الأخطاء الثلاثة الأكثر شيوعًا في المعالجة الجبرية: 1. تم كسر قواعد BEDMAS. 2. انتهكت قواعد الجبر. 3. ما تم إجراؤه على أحد طرفي المعادلة لم يتم إجراؤه على الجانب الآخر من المعادلة. ### أشياء يجب الانتباه إليها عندما تنقل حدًا من أحد طرفي المعادلة إلى جانب آخر باستخدام الضرب أو القسمة ، تذكر أن هذا يؤثر على كل حد من طرفي المعادلة. لإزالة (x ) من المقام في المعادلة التالية ، اضرب طرفي المعادلة في (x ): ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} = dfrac {2} {x} +2 ) يصبح (x left ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} right) = left ( dfrac {2} {x} +2 right) x ) والذي يصبح بعد ذلك (5 + 1 = 2 + 2 x ) ضرب كل مصطلح على كلا الجانبين في (س ) يحافظ على المساواة. ### طرق النجاح يمكن أن تسبب الأرقام السلبية الكثير من الحزن لبعض الناس. عند نقل المصطلحات من جانب معين من المعادلة ، يفضل العديد من الأشخاص تجنب المعاملات العددية السالبة أمام المعاملات الحرفية. عند مراجعة (4x + 3 = −2x - 3 ) ، يمكنك تحريك (4x ) من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن عن طريق طرح (4x ) من كلا الجانبين. ومع ذلك ، في الجانب الأيمن ينتج عن هذا (- 6x ). يتم التغاضي عن السلبية بسهولة أو إسقاطها عن طريق الخطأ في الخطوات المستقبلية. بدلاً من ذلك ، انقل المتغير إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، مما ينتج عنه معامل موجب يساوي (6x ). مثال ( PageIndex {1} ): كيفية حل المثال الافتتاحي خذ المثال الحالي في هذا القسم وحلها من أجل (x ): (4x + 3 = −2x - 3 ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (x ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. كيف ستصل الى هناك طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. نفذ الخطوة 1: انقل المصطلحات ذات المعاملات الحرفية إلى جانب والمصطلحات ذات المعاملات العددية فقط إلى الجانب الآخر. دعنا نجمع المعامل الحرفي على الجانب الأيسر من المعادلة. انقل (- 2x ) إلى الجانب الأيسر بوضع (+ 2x ) على كلا الجانبين. [4x + 3 = 2x - 3 بلا رقم ] على الجانب الأيمن ، تلغي (- 2x ) و (+ 2x ) إلى الصفر. [4x + 3 ( bf {+ 2x}) = −2x - 3 ( bf {+ 2x}) nonumber ] الخطوة 1 (تابع): جميع المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي موجودة الآن على اليسار. لننقل جميع المصطلحات التي تحتوي على معاملات عددية فقط إلى الجانب الأيمن. انقل +3 إلى الجانب الأيمن بوضع −3 على كلا الجانبين. [4x + 3 + 2x = −3 بلا رقم ] في الطرف الأيسر ، نحذف +3 و 3 إلى الصفر. [4x + 3 + 2x ( bf {- 3}) = −3 ( bf {- 3}) nonumber ] الخطوة 2: الشروط مفصولة الآن. اجمع المصطلحات المتشابهة وفقًا لقواعد الجبر. [4x + 2x = −3 - 3 nonumber ] الخطوه 3: المصطلح ذو المعامل الحرفي يتم ضربه بالمعامل العددي 6. لذلك ، اقسم كلا الجانبين على 6. [ bf {6x = −6} nonumber ] ستقسم المعاملات العددية للجانب الأيسر إلى 1. قم بحل المعاملات العددية على الجانب الأيمن. [ dfrac {6 x} { bf {6}} = dfrac {-6} { bf {6}} nonumber ] هذا هو جذر المعادلة. [س = -1 بلا رقم ] جذر المعادلة هو (x = −1 ). للتحقق من دقة التلاعب ، خذ جذر (x = −1 ) واستبدله في المعادلة الأصلية: [4 (−1) + 3 = −2 (1) - 3 بدون رقم ] [- 4 + 3 = 2-3 بلا رقم ] [- 1 = -1 بلا رقم ] الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن ، لذا فإن الجذر صحيح. مثال ( PageIndex {2} ): حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف حل المعادلة التالية من أجل (m ): ( dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (م ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. كيف ستصل الى هناك بسّط المعادلات أولاً ثم طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. يمكنك استخدام نهج يتجنب السلبيات. نفذ أولًا ، بسّط كل الكسور لتسهيل التعامل مع المعادلة. [ dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 nonumber ] لا يزال هناك تبسيط ، اجمع مثل المصطلحات حيثما أمكن ذلك [( bf {0.75m}) + 2m = 4m - 15 nonumber ] الخطوة 1: اجمع كل المصطلحات باستخدام المعامل الحرفي على جانب واحد من المعادلة. انقل كل الحدود ذات المعاملات الحرفية إلى الجانب الأيمن. [( bf {2.75 م}) = 4 م - 15 عدد غير رقمي ] الخطوة 1 (تابع): اجمع الحدود المتشابهة وانقل كل الحدود ذات المعاملات العددية فقط إلى الجانب الأيسر. [2.75 م ( bf {- 2.75 م}) = 4 م - 15 ( bf {- 2.75 م}) nonumber ] على الجانب الأيسر ، يقوم (+ 2.75 م ) و (- 2.75 م ) بإلغاء بعضهما البعض. الآن انقل المعاملات العددية إلى الجانب الأيسر. [( bf {0}) = 4 م - 15 ( bf {- 2.75 م}) غير رقم ] على الجانب الأيمن ، يلغي كل من 15 و +15 بعضهما البعض. [0 ( bf {+ 15}) = 4 م - 15 - 2.75 م ( bf {+ 15}) nonumber ] الخطوة 2: اجمع بين المصطلحات المتشابهة في كل جانب. [0 ( bf {+ 15}) = 4 م - 2.75 م غير رقم ] الخطوه 3: اقسم كلا الجانبين على المعامل العددي المصاحب للمعامل الحرفي. [ bf {15 = 1.25m} عدد غير رسمي ] تبسيط. [ dfrac {15} { bf {1.25}} = dfrac {1.25 m} { bf {1.25}} nonumber ] هذا هو جذر المعادلة. [12 = م بلا رقم ] جذر المعادلة هو (م = 12 ). هذا يجعل طرفي المعادلة ، ( dfrac {3 m} {4} +2 م ) و (4 م -15 ) ، يساوي 33. مثال ( PageIndex {3} ): حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف يحتوي على كسور حل المعادلة التالية لـ (b ) وقرب إجابتك إلى أربعة أرقام عشرية: ( dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac { ب} {4} ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (b ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. على الرغم من أنه يمكنك محاولة مسح كل كسر أو محاولة إيجاد مقام مشترك ، تذكر أنه يمكنك حذف الكسور بتحويلها إلى كسور عشرية. كيف ستصل الى هناك بسّط الكسور إلى صورة عشرية. ثم طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. نفذ بسّط الكسور وحوّلها إلى أعداد عشرية. [ dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac {b} {4} nonumber ] الخطوة 1: انقل حدود المعامل الحرفي إلى الجانب الأيسر. [( bf {0.625}) ب ( bf {+ 0.4}) = ( bf {0.85 - 0.25}) ب بدون رقم ] المعاملات الحرفية في الجانب الأيمن تلغي بعضها البعض. [0.625b + 0.4 + ( bf {0.25b}) = 0.85 - 0.25b + ( bf {0.25b}) nonumber ] انقل حدود المعامل العددي إلى الجانب الأيمن. [0.625b + 0.4 + 0.25b = 0.85 nonumber ] المعاملات العددية في الطرف الأيسر تلغي بعضها البعض. [0.625b + 0.4 + 0.25b ( bf {- 0.4}) = 0.85 ( bf {- 0.4}) nonumber ] الخطوة 2: اجمع بين المصطلحات المتشابهة في كل جانب. [0.625 ب + 0.25 ب = 0.85 - 0.4 عدد غير رقمي ] الخطوه 3: اقسم كلا الجانبين على المعامل العددي المصاحب للمعامل الحرفي. [ bf {0.875b = 0.45} nonumber ] تبسيط. [ dfrac {0.875 b} { bf {0.875}} = dfrac {0.45} { bf {0.875}} nonumber ] قرّب لأربعة أرقام عشرية حسب التعليمات. [ب = 0.514285 بدون رقم ] هذا هو الجذر. [ب = 0.5143 بلا رقم ] جذر المعادلة ، مقربًا إلى أربعة أرقام عشرية ، هو (ب = 0.5143 ). ## حل معادلتين خطيتين بمتغيرين غير معروفين تعمل عملية المعالجة التي مارستها للتو بشكل جيد لحل معادلة خطية واحدة بمتغير واحد. ولكن ماذا يحدث إذا احتجت إلى حل معادلتين خطيتين بمتغيرين في وقت واحد؟ تذكر عندما كنت في Old Navy تشتري سبع ملابس في وقت سابق من هذا الفصل (المعادلة 1)؟ كنت بحاجة للبقاء ضمن ميزانية التسعير (المعادلة 2). تحتوي كل معادلة على متغيرين غير معروفين يمثلان عدد الملابس الأقل سعراً والأعلى سعراً. الهدف هو اختزال معادلتين بهما مجهولان في معادلة خطية واحدة مع واحدة غير معروفة. بمجرد اكتمال هذا التحويل ، يمكنك بعد ذلك تحديد المتغير غير المعروف من خلال تطبيق الإجراء المكون من ثلاث خطوات لحل معادلة خطية واحدة ، كما تمت مناقشته للتو. عندما تعمل مع معادلتين خطيتين مع مجهولين ، تسمح قواعد الجبر بالمعالجتين التاليتين: 1. ما تفعله في أحد طرفي المعادلة يجب أن يتم على الجانب الآخر من المعادلة للحفاظ على المساواة. لذلك ، يمكنك ضرب أو قسمة أي معادلة على أي رقم دون تغيير جذر المعادلة. على سبيل المثال ، إذا قمت بضرب جميع شروط (x + y = 2 ) في 2 على كلا الجانبين ، مما أدى إلى (2x + 2y = 4 ) ، تظل مساواة المعادلة كما هي وتوجد نفس الجذور. 2. يمكن إضافة المصطلحات الموجودة في نفس الجانب من المعادلة وطرحها بين المعادلات من خلال الجمع بين المصطلحات المتشابهة. لكل من المعادلتين جانب أيسر وجانب أيمن. تسمح هذه القاعدة بأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الأولى وإما إضافة أو طرح حدود متشابهة في الجانب الأيسر من المعادلة الثانية. عند تنفيذ هذا الإجراء ، تذكر القاعدة الأولى أعلاه. إذا جمعت الجانبين الأيسر من المعادلتين معًا ، فيجب عليك حينئذٍ إضافة الجانب الأيمن من المعادلتين معًا للحفاظ على المساواة. ### كيف تعمل اتبع هذه الخطوات لحل معادلتين خطيتين بمتغيرين غير معروفين: الخطوة 1: اكتب المعادلتين واحدة فوق الأخرى ، بحيث تصطف عموديًا المصطلحات التي لها نفس المعاملات الحرفية والمصطلحات التي لها المعامل العددي فقط. إذا لزم الأمر ، قد تحتاج المعادلات إلى المعالجة بحيث تكون جميع المعاملات الحرفية على جانب واحد مع المعاملات العددية على الجانب الآخر. الخطوة 2: افحص المعادلتين. من خلال الضرب أو القسمة ، اجعل المعامل العددي على أحد المصطلحات التي تحتوي على معامل حرفي يساوي تمامًا نظيره في المعادلة الأخرى. الخطوه 3: أضف أو اطرح المعادلتين حسب الحاجة لإزالة المصطلح المتطابق من المعادلتين. الخطوة 4: في المعادلة الجديدة ، حل المعامل الحرفي الأخير. الخطوة الخامسة: استبدل جذر المعامل الحرفي المعروف في أي من المعادلتين الأصليتين. إذا اتخذت إحدى المعادلات بنية أبسط ، فاختر تلك المعادلة. الخطوة 6: حل المعادلة التي اخترتها للمعامل الحرفي الآخر. ### طرق النجاح في بعض الأحيان يكون من غير الواضح بالضبط كيف تحتاج إلى ضرب أو قسمة المعادلات لجعل اثنين من المصطلحات متطابقة. على سبيل المثال ، افترض المعادلتين التاليتين: [4.9x + 1.5y = 38.3 nonumber ] [2.7x - 8.6y = 17.8 nonumber ] إذا كان الهدف هو جعل المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي (س ) متطابقة ، فهناك حلان بديلين: 1. خذ المعامل العددي الأكبر لـ (x ) واقسمه على المعامل العددي الأصغر. الرقم الناتج هو عامل ضرب المعادلة التي تحتوي على معامل رقمي أصغر. في هذه الحالة ، (4.9 div 2.7 = 1. overline {814} ). اضرب كل حدود المعادلة الثانية في (1. overline {814} ) لجعل المعاملات العددية لـ (x ) مساوية لبعضها البعض ، مما ينتج عنه زوج المعادلات هذا: [4.9x + 1.5y = 38.3 nonumber ] [4.9 x-15.6 overline {074} y = 32.3 overline {037} text {(كل مصطلح مضروب في} 1. overline {814}) nonumber ] 1. خذ المعادلة الأولى واضربها في المعامل العددي في المعادلة الثانية. ثم خذ المعادلة الثانية واضربها في المعامل العددي في المعادلة الأولى. في هذه الحالة ، اضرب كل الحدود في المعادلة الأولى في 2.7. ثم اضرب كل حدود المعادلة الثانية في 4.9. [13.23 x + 4.05 y = 103.41 text {(كل حد مضروب في} 2.7) nonumber ] [13.23 x-42.14 y = 87.22 text {(كل حد مضروبًا في 4.9)} nonumber ] لاحظ أن كلا الأسلوبين يؤديان بنجاح إلى أن كلا المعادلتين لهما نفس المعامل العددي أمام المعامل الحرفي (x ). ### طرق النجاح في النهاية ، يمكن تحويل كل زوج من المعادلات الخطية مع مجهولين إلى معادلة واحدة من خلال الاستبدال. لإجراء التحويل ، قم بما يلي: 1. حل أي من المعادلتين لأحد المتغيرات غير المعروفة. 2. خذ التعبير الجبري الناتج واستبدله في المعادلة الأخرى. هذه المعادلة الجديدة قابلة للحل لأحد المتغيرات غير المعروفة. 3. استبدل المتغير المكتشف حديثًا بأحد المعادلات الأصلية لتحديد قيمة المتغير المجهول الآخر. خذ المعادلتين التاليتين: [a + b = 4 quad quad 2a + b = 6 nonumber ] 1. ينتج عن حل المعادلة الأولى ل (أ = 4 - ب ). 2. يؤدي استبدال التعبير لـ a في المعادلة الثانية وحل b إلى (2 (4 - b) + b = 6 ) ، والذي يحل كـ (b = 2 ). 3. أخيرًا ، استبدال جذر b في المعادلة الأولى لحساب a يعطي (a + 2 = 4 ) ينتج عنه (a = 2 ). لذلك ، فإن جذور هاتين المعادلتين هي (أ = 2 ) و (ب = 2 ). مثال ( PageIndex {4} ): شراء تلك الملابس تذكر من افتتاحية القسم أنه في التسوق للأزياء هناك نقطتان للسعر 10 دولارات و 30 دولارًا ، وميزانيتك 110 دولارات ، وأنك بحاجة إلى سبع قطع من الملابس. المعادلات أدناه تمثل هذه الشروط. حدد عدد الملابس منخفضة السعر ( (L )) والملابس باهظة الثمن ( (H )) التي يمكنك شراؤها. [L + H = 7 text {}$ 10L + $30H =$ 110 nonumber ]

المحلول

تحتاج إلى تحديد كمية العناصر ذات النقاط المنخفضة السعر ، أو (L ) ، وعناصر النقطة ذات السعر المرتفع ، أو (H ) ضمن ميزانيتك المحدودة. لاحظ أن الأس على المتغيرات هي 1 وأن ​​هناك مجهولين. إذن ، هناك معادلتان خطيتان بهما مجهولان.

ما تعرفه بالفعل

أنت تطلب سبع قطع من الملابس ولديك فقط ميزانية قدرها 110 دولارات. تعبر المعادلات عن علاقات الكمية والميزانية.

كيف ستصل الى هناك

قم بتطبيق الإجراء المكون من ست خطوات لحل معادلتين خطيتين مع مجهولين.

الخطوة 1:

اكتب المعادلتين واحدة فوق الأخرى وصطفها.

[ start {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} { $10L} & + & {$ 30H} & = & { $110} نهاية {مجموعة} غير رقم ] الخطوة 2: اضرب جميع الحدود في المعادلة الأولى في 10 بحيث يكون (L ) له نفس المعامل العددي في كلا المعادلتين. [ start {array} {lllll} {10L} & + & {10H} & = & {70} {$ 10L} & + & { $30H} & = & {$ 110} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

الخطوه 3:

اطرح المعادلات بطرح كل الحدود في كلا الطرفين.

[ start {array} {llllll} {} & {10L} & + & {10H} & = & {70} { text {subtract}} & { $10L} & + & {$ 30H } & = & { $110} {} & {} & - & {$ 20H} & = & {- $40} end {array} nonumber ] الخطوة 4: حل من أجل (H ) بقسمة كلا الطرفين على 20. [ dfrac {-$ 20 H} {- $20} = dfrac {-$ 40} {- $20} quad H = 2 nonumber ] الخطوة الخامسة: عوّض بالقيمة المعروفة لـ (H ) في إحدى المعادلات الأصلية. المعادلة الأولى بسيطة ، لذا اختر تلك المعادلة. [ start {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} {L} & + & {2} & = & {7} end {array} لا يوجد رقم ] الخطوة 6: حل من أجل (L ) بطرح 2 من كلا الطرفين. لديك الآن جذور (L ) و (ح ). [ begin {array} {lllllllll} {L} & + & {2} & - & {2} & = & {7} & - & {2} {} & {} & {} & {} & {L} & = & {5} & {} & {} end {array} nonumber ] يمكنك شراء خمس قطع من الملابس بسعر منخفض وقطعتين من الملابس بسعر مرتفع. يتيح لك هذا شراء سبع قطع من الملابس والبقاء في حدود ميزانيتك البالغة 110 دولارات. ### طرق النجاح من أصعب مجالات الرياضيات ترجمة الكلمات إلى رموز وعمليات رياضية. للمساعدة في هذه الترجمة ، يسرد الجدول أدناه بعض اللغات الشائعة والرمز الرياضي المرتبط عادةً بالكلمة أو العبارة. لغةرمز الرياضيات مجموع إضافة بالإضافة إلى في الزائدة زاد بمعدل زائد + طرح او خصم انخفض بنسبة تقلص بنسبة أقل ناقص فرق قلل بواسطة - مضروبا مرات نسبة من منتج ل × يقسم قسم قابل للقسمة حاصل القسمة لكل÷ يصبح هو / كان / كان سوف يكون النتائج في المجاميع = أكثر منأكثر من> أقل منأقل من< أكبر من أو يساوي اقل او يساوي لا يساوي مثال ( PageIndex {5} ): حل معادلتين خطيتين بمجهولين لمدينة ملاهي تتقاضى Tinkertown Family Fun Park 15 دولارًا لفرقة معصم الأطفال و 10.50 دولارًا لفرقة معصم البالغين. في يوم صيفي دافئ ، حققت مدينة الملاهي إجمالي إيرادات لفرقة المعصم بلغت 15،783 دولارًا من مبيعات 1،279 سوارًا للمعصم. كم عدد أساور المعصم للبالغين والأطفال التي باعتها الحديقة في ذلك اليوم؟ المحلول أنت بحاجة إلى عدد أساور المعصم الخاصة بالبالغين والأطفال التي يتم بيعها في اليوم المحدد. لذلك ، يجب عليك تحديد مجهولين. ما تعرفه بالفعل سعر أساور المعصم والكمية الإجمالية والمبيعات معروفة: سعر سوار معصم الطفل = 15 دولارًا سعر سوار المعصم للكبار = 10.50 دولار إجمالي الإيرادات = 15،783 دولارًا أمريكيًا إجمالي مبيعات الوحدة = 1،279 كمية أساور معصم الكبار المباعة وكمية أساور معصم الأطفال المباعة غير معروفة: كمية عصابات المعصم الكبار = (أ ) كمية عصابات معصم الطفل = (ج ) كيف ستصل الى هناك 1. اعمل بالكميات اولا. احسب إجمالي مبيعات الوحدات عن طريق إضافة عدد أربطة المعصم الخاصة بالبالغين إلى عدد أساور المعصم الخاصة بالأطفال: [ # text {عصابات معصم الكبار} + # text {عصابات معصم الأطفال} = text {total unit sales} nonumber ] [a + c = 1،279 nonumber ] 1. الآن فكر في أرقام الدولار. يتم حساب إجمالي الإيرادات لأي شركة على أساس سعر الوحدة مضروبًا في الوحدات المباعة. في هذه الحالة ، يجب عليك جمع الإيرادات من منتجين للحصول على إجمالي الإيرادات. [ text {إجمالي إيرادات البالغين} + text {إجمالي إيرادات الأطفال} = text {إجمالي الإيرادات} nonumber ] [ text {(Adult price} times text {Adult guantity}) + text {(Child price} times text {Child quantity)} = text {إجمالي الأرباح} nonumber ] [$ 10.50 a + $15 c =$ 15،783 nonumber ]

1. قم بتطبيق الإجراء المكون من ست خطوات لحل معادلتين خطيتين مع مجهولين.

نفذ

الخطوة 1:

اكتب المعادلتين واحدة فوق الأخرى وصطفها.

[ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1،279} { $10.50a} & + & {$ 15c} & = & { $15،783} نهاية {مجموعة} غير رقم ] الخطوة 2: اضرب كل حدود المعادلة الأولى في 10.5 ، مما ينتج عنه نفس المعامل العددي في كلا المعادلتين. [ start {array} {lllll} { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13،429.50}} {$ 10.50a} & + & { $15c} & = & {$ 15،783} end {array} nonumber ]

الخطوه 3:

اطرح المعادلات بطرح كل الحدود في كلا الطرفين.

[ start {array} {llllll} {} & { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13،429.50}} { text {Subtract} } & { underline { $10.50a}} & { underline {+}} & { underline {$ 15c}} & { underline {=}} & { underline { \$ 15،783}} {} & {} & {} & { bf {-4.5c}} & { bf {=}} & { bf {-2،353.50}} end {array} nonumber ]

الخطوة 4:

حل من أجل (c ) بقسمة كلا الطرفين على −4.5.

[ dfrac {-4.5 ج} {- 4.5} = dfrac {-2،353.50} {- 4.5} quad c = 523 nonumber ]

الخطوة الخامسة:

عوّض بالقيمة المعروفة لـ (c ) في إحدى المعادلات الأصلية. المعادلة الأولى بسيطة ، لذا اختر تلك المعادلة.

[ start {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1،279} {a} & + & { bf {523}} & = & {1،279} end {مجموعة} عدد ]

الخطوة 6:

حل من أجل a بطرح 523 من كلا الطرفين. لديك الآن جذور (أ ) و (ج ).

[ begin {align} a + 523 bf {-523} & = 1،279 bf {-523} a & = 756 end {align} nonumber ]

باعت Tinkertown Family Fun Park 523 سوار معصم للأطفال و 756 سوار معصم للبالغين.

## 2.5: المعادلات الخطية - التلاعب والحل (حل اللغز)

عبارة معادلة تشير إلى تساوي تعبيرين جبريين. هي عبارة تشير إلى أن تعبيرين جبريين متساويان. معادلة خطية بمتغير واحد معادلة يمكن كتابتها بالصيغة القياسية أ س + ب = 0 ، حيث أ و ب هي أرقام حقيقية و ≠ 0. و x، هي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة القياسية أ س + ب = 0 حيث أ و ب هي أرقام حقيقية و ≠ 0. فمثلا،

حل أي قيمة يمكن أن تحل محل المتغير في معادلة لإنتاج بيان صحيح. المعادلة الخطية هي أي قيمة يمكن أن تحل محل المتغير لإنتاج بيان صحيح. المتغير في المعادلة الخطية 3 س - 12 = 0 هو x والحل هو x = 4. للتحقق من ذلك ، استبدل القيمة 4 في لـ x وتحقق من حصولك على بيان صحيح.

3 س - 12 = 0 3 (4) - 12 = 0 12-12 = 0 0 = 0

بدلاً من ذلك ، عندما تكون المعادلة مساوية لثابت ، يمكننا التحقق من الحل عن طريق استبدال القيمة في للمتغير وإظهار أن النتيجة تساوي ذلك الثابت. بهذا المعنى ، نقول إن الحلول "ترضي المعادلة".

### مثال 1

هل a = - 1 2 حل لـ - 10 a + 5 = 25؟

تذكر أنه عند تقييم التعبيرات ، من الأفضل استبدال جميع المتغيرات أولاً بأقواس ، ثم استبدال القيم المناسبة. من خلال استخدام الأقواس ، نتجنب بعض الأخطاء الشائعة عند عمل ترتيب العمليات.

- 10 أ + 5 = - 10 (- 1 2) + 5 = 5 + 5 = 10 25 ✗

الجواب: لا ، أ = - 1 2 لا تفي بالمعادلة.

يعد تطوير تقنيات حل المعادلات الجبرية المختلفة أحد أهدافنا الرئيسية في الجبر. يستعرض هذا القسم التقنيات الأساسية المستخدمة لحل المعادلات الخطية بمتغير واحد. نبدأ بتعريف المعادلات المتكافئة بنفس مجموعة الحلول. كمعادلات لها نفس مجموعة الحلول.

3 x - 5 = 16 3 x = 21 x = 7> E q u i v a l e n t e q u a t i o n s

هنا يمكننا أن نرى أن المعادلات الخطية الثلاث متكافئة لأنها تشترك في نفس مجموعة الحلول ، وهي <7>. للحصول على معادلات مكافئة ، استخدم الخصائص التالية لخصائص المساواة التي تسمح لنا بالحصول على معادلات مكافئة عن طريق إضافة وطرح وضرب وتقسيم طرفي المعادلة بأرقام حقيقية غير صفرية. . معطى التعبيرات الجبرية أ و ب، أين ج هو رقم غير صفري:

إضافة خاصية المساواة:

خاصية الطرح للمساواة:

خاصية الضرب للمساواة:

تقسيم ملكية المساواة:

ملحوظة: يتم تجنب ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على 0 بعناية. القسمة على 0 غير معرفة وضرب كلا الطرفين في 0 ينتج عنه المعادلة 0 = 0.

نحل المعادلات الجبرية عن طريق عزل المتغير بمعامل 1. إذا أعطيت معادلة خطية بالصيغة a x + b = c ، فيمكننا حلها على خطوتين. أولاً ، استخدم خاصية المساواة المناسبة للجمع أو الطرح لعزل المصطلح المتغير. بعد ذلك ، اعزل المتغير باستخدام خاصية المساواة في الضرب أو القسمة. التحقق من الحل في الأمثلة التالية متروك للقارئ.

### مثال 2

7 x - 2 = 19 7 x - 2 + 2 = 19 + 2 A d d 2 t o b o t h s i d e s. 7 x = 21 7 x 7 = 21 7 D i v i d e b o t h s i d e s b y 7. س = 3

### مثال 3

عندما لا توجد علامة تسبق المصطلح ، يُفهم على أنها إيجابية. بمعنى آخر ، فكر في هذا على أنه 56 = + 8 + 12 ص. لذلك ، نبدأ بطرح 8 على كلا طرفي علامة التساوي.

56-8 = 8 + 12 ص - 8 48 = 12 ص 48 12 = 12 ص 12 4 = ص

لا يهم في أي جانب نختار عزل المتغير لأن الخاصية المتماثلة تتيح لك إيجاد المتغير على جانبي علامة التساوي ، لأن x = 5 يساوي 5 = x. تنص على أن 4 = y تكافئ y = 4.

### مثال 4

افصل المصطلح المتغير باستخدام خاصية الجمع للمساواة ، ثم اضرب طرفي المعادلة في مقلوب المعامل 5 3.

5 3 x + 2 = - 8 5 3 x + 2 - 2 = - 8-2 S u b t r a c t 2 o n b o t h s i d e s. 5 3 x = - 10 3 5 ⋅ 5 3 x = 3 5 ⋅ (- 10) - 2 M u l t i p l y b o t h s i d e s b y 3 5. 1 س = 3 (- 2) س = - 6

باختصار ، للاحتفاظ بالمعادلات المتكافئة ، يجب أن نقوم بنفس العملية على جانبي المعادلة.

جرب هذا! حل: 2 3 س + 1 2 = - 5 6.

## الحل عن طريق الجمع

المبدأ الأساسي للحل عن طريق الجمع هو عالج معادلتين بحيث يتم إلغاء أحد المتغيرات عند إضافة المعادلتين معًا. نظرًا لإلغاء أحد المتغيرات ، تسمى هذه الطريقة أحيانًا طريقة الحذف.

لنستخدم تركيبة & # 8217s لحل هذا النظام من معادلتين:

نظام المعادلات هذا مناسب للجمع ، لأنه يوجد بالفعل 2x في كلا المعادلتين. لذلك ، إذا طرحنا المعادلة (1) من المعادلة (2) & # 8211 أو ، على نحو مكافئ ، اضربنا المعادلة (1) في -1 وأضفنا المعادلتين & # 8211 لدينا معادلة واحدة مع ذ:

بقسمة الطرفين ، نجد ذلك ذ = -4/3. يمكننا بعد ذلك التوصيل ذ العودة إلى المعادلتين الأصليتين للحصول على قيمة x، كما فعلنا عند الحل بالتعويض.

لا يزال بإمكاننا حلها عن طريق الجمع حتى لو لم تكن المتغيرات مصطفة بشكل جيد. على سبيل المثال ، يمكننا البدء من جديد وحل نظام المعادلات عن طريق عمل ذ& # 8216s إلغاء ، بدلاً من x& # 8216 ثانية. للقيام بذلك ، يمكننا ضرب المعادلة الأولى (1) في الرقم 2 على كلا الجانبين:

الآن بطرح (2) من هذه النتيجة يعطينا:

حل نجد x = 7. لإنهاء المهمة نستبدلها x = 7 في أي من المعادلات الأصلية. إذا قمنا بتوصيل x = 7 في (1) ، نحصل على:

نطرح 14 من كلا الطرفين ، نحصل على

وبالقسمة على 3 ، نجد ذلك

لذا فإن حل المعادلتين (1) و (2) هو:

يفضل معظم الناس طريقة الاستبدال على طريقة الجمع. ومع ذلك ، ستثبت طريقة الدمج بشكل أسرع في بعض الأسئلة ، لذلك إذا لم تفكر في استخدامها ، فمن المحتمل أن تضيع الوقت أو الإجابة الصحيحة في قسم الكمية. علاوة على ذلك ، يجب أن تكون مرتاحًا لمفهوم أنه يمكن إضافة المعادلات ، نظرًا لأن المعادلة المعطاة متساوية في كلا الجانبين ، لأن هذه الحقيقة يمكن أن تكون مفيدة حتى عندما لا تحل نظام المعادلات الخطية بطريقة الجمع.

كما ذكرت من قبل ، يتم تنسيق المتغيرات الخاصة بنا على النحو التالي:

للتأكد من أن كل مربع له قيمة فقط ، يمكننا الاحتفاظ بامتداد صف ، عمود ثابت وتختلف القيمة من 1 إلى 9. يجب أن يكون مجموع القيم الثنائية مساويًا لـ 1 نظرًا لأن متغيرًا واحدًا فقط سيكون مساويًا لـ 1 ويجب أن يكون الآخرون 0.

(القيمة = 1 ، الصف = 1 ، العمود = 1) + (القيمة = 2 ، الصف = 1 ، العمود = 1) + (القيمة = 3 ، الصف = 1 ، العمود = 1) + (القيمة = 4 ، الصف = 1 ، عمود = 1) + (القيمة = 5 ، صف = 1 ، عمود = 1) + (القيمة = 6 ، صف = 1 ، عمود = 1) + (القيمة = 7 ، صف = 1 ، عمود = 1) + (القيمة = 8 ، الصف = 1 ، العمود = 1) + (القيمة = 9 ، الصف = 1 ، العمود = 1) == 1

سنحتاج إلى إجراء هذا الفحص لجميع المجموعات المختلفة من صف ، عمود

## كيفية إيجاد حل حاسبة المعادلات الخطية؟

يتم تعريف المعادلة الخطية على أنها معادلة مكتوبة لمتغيرين مختلفين. ستكون هذه المعادلة عبارة عن مزيج خطي من هذين المتغيرين وثابت.

معادلة بالصيغة Ax + By = C. هنا ، x و y متغيرات ، و A و B و C ثوابت.

### مثال محلول:

حل ٢ س + ص = ٧ و س + ص = ٥

### المحلول:

وبالمثل ، يمكنك تجربة الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة الجبر لمعادلة معينة

## مشاكل التلاعب الجبر

إذا كانت x & gt 0 و & # xa0 x 2 - 2x - 35 & # xa0 = & # xa0 0 ، فأوجد قيمة:

إذا كانت t & lt 0 و (t - 1) 2 & # xa0 = 16 ، فما قيمة t 2 & # xa0؟

لنفترض أن "x" رقم حقيقي يلبي العلاقات (2x-5) & # xa0 & gt 2 و (3x + 3) & lt 18. أي من القيم يمكن أن تأخذ "x"؟

احسب الحد الخامس من التسلسل المحدد كـ

أوجد مجال الوظيفة: & # xa0

نأمل أن يتمكن الطلاب من حل مشاكل التلاعب الجبرية 1 على SAT أعلاه. & # xa0

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، & # xa0 & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0

## أنشطة معادلات حل المتاهة

### حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة

• 2-1 حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة - الإجابات - نشاط المتاهة (PDF - للأعضاء فقط)
• 2-1 Solving One-Step Equations - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving One-Step Equations - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Two-Step Equations

• 2-2 Solving Two-Step Equations - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-2 Solving Two-Step Equations - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Two-Step Equations - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Multi-Step Equations

• 2-3 Solving Multi-Step Equations - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-3 Solving Multi-Step Equations - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Multi-Step Equations - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Equations with Variables on Both Sides

• 2-4 Solving Equations with Variables on Both Sides - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-4 Solving Equations with Variables on Both Sides - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Equations with Variables on Both Sides - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Literal Equations and Formulas

• 2-5 Literal Equations and Formulas - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-5 Literal Equations and Formulas - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Literal Equations and Formulas - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Ratios, Rates, and Conversions

• 2-6 Ratios, Rates, and Conversions - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-6 Ratios, Rates, and Conversions - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Ratios, Rates, and Conversions - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Solving Proportions

• 2-7 Solving Proportions - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-7 Solving Proportions - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Solving Proportions - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Proportions and Similar Figures

• 2-8 Proportions and Similar Figures - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-8 Proportions and Similar Figures - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Proportions and Similar Figures - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Percentages

• 2-9 Percentages - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-9 Percentages - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Percentages - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

### Change Expressed as a Percent

• 2-10 Change Expressed as a Percent - Answers - Maze Activity (PDF - Member Only)
• 2-10 Change Expressed as a Percent - Maze Activity (Editable - Member Only)
• ⭐ Change Expressed as a Percent - Maze Activity(PDF - FREEBIE)

## Solving Linear Equations

The simplest equation to solve is a linear equation. A linear equation is an equation where the highest exponent of the variable is ( ext<1>) . The following are examples of linear equations:

Solving an equation means finding the value of the variable that makes the equation true. For example, to solve the simple equation (x + 1 = 1) , we need to determine the value of (x) that will make the left hand side equal to the right hand side. The solution is (x = 0) .

The solution, also called the root of an equation, is the value of the variable that satisfies the equation. For linear equations, there is at most one solution for the equation.

To solve equations we use algebraic methods that include expanding expressions, grouping terms, and factorising.

Check the answer by substituting (x=-cfrac<1><2>) .

يبدأ نص & = 2x + 2 & = 2(-cfrac<1><2>) + 2 & = -1 + 2 & = 1 ext & =1 end

The following video gives an introduction to solving linear equations.

Note that the video(s) in this lesson are provided under a Standard YouTube License.

## Let&rsquos Start &hellip Coding!

The Games::LMSolve::Base class tries to solve a game by iterating through its various positions, recording every one it passes through, and trying to reach the solution. However, it does not know in advance what the games rules are, and what the meaning of the positions and moves are. In order for it to know that, we need to inherit it and code several methods that are abstract in the base class.

We will code a derived class that will implement the logic specific to the Jumping Cards game. It will implement the following methods, which, together with the methods of the base class, enable the solver to solve the game:

1. input_board
2. pack_state
3. unpack_state
4. display_state
5. check_if_final_state
6. enumerate_moves
7. perform_move
8. render_move

Here&rsquos the beginning of the file where we put the script:

As can be seen, we declared a new package, Jumping::Cards , imported the Games::LMSolve::Base namespace, and inherited from it. Now let&rsquos start declaring the methods. First, a method to input the board in question.

Since our board is constant, we just return an array reference that contains the initial sequence.

When Games::LMSolve::Base iterates over the states, it stores data about each state in a hash. This means we&rsquore going to have to provide a way to convert each state from its expanded form into a uniquely identifying string. The pack_state method does this, and in our case, it will look like this:

It is a good idea to use functions like pack , join or any other serialization mechanism here. In our case, we simply used join .

It is not very convenient to manipulate a packed state, and so we need another function to expand it. unpack_state does the opposite of pack_state and expands a packed state.

display_state() converts a packed state to a user-readable string. This is so that it can be displayed to the user. In our case, the comma-delimited notation is already readable, so we leave it as that.

We need to determine when we have reached our goal and can terminate the search with a success. The check_if_final_state function accepts an expanded state and checks if it qualifies as a final state. In our case, it is final if it&rsquos the 8-to-1 sequence.

Now we need a function that will tell the solver what subsequent states are available from each state. This is done by enumerating a set of moves that can be performed on the state. The enumerate_moves function does exactly that.

What enumerate_moves does is iterate over the indices of the locations twice, and checks every move for the validity of the resultant board. If it&rsquos OK, it pushes the exchanged indices to the array @moves , which is returned at the end.

We also need a function that will translate an origin state and a move to a resultant state. The perform_move function performs a move on a state and returns the new state. In our case, it simply swaps the cards in the two indices specified by the move.

Finally, we need a function that will render a move into a user-readable string, so it can be displayed to the user.

## Solving linear equations

This unit teaches students to identify linear relationships and solve linear equations in context.

• Identify and find values for variables in context.
• Identify linear relationships in context.
• Represent linear relationships using tables, graphs and simple linear equations.
• Draw strip diagrams to represent linear equations.
• Solve simple linear equations and interpret the answers in context.

Algebra started with the need to solve problems. Al Khwarizmi, a Persian mathematician, was arguably the first person to represent linear and quadratic problems in symbolic form and solved the problems by processes of ‘restoration’, i.e. equivalent operations that conserved equality. In fact, the word for algebra comes from the Arabic word for restoration.

It is fitting then that modern approaches to algebra focus on the thinking that underpins the symbolic systems. Algebraic thinking is concerned with generalisation. Letters, words, tables, graphs, networks, etc. are cultural tools that enable us to represent, then think with, those generalisations. With representational tools we are capable of ‘amplified cognition’ in that we can anticipate results that would never be possible if we relied solely on the physical environment, and on our limited capacity to process ideas just mentally.

Generalisation begins with noticing patterns and structures. A pattern is a consistency, that is something that occurs in a predictable way. It is the ‘what’ of algebraic thinking. Structure is about the organisation of patterns. It is the ‘how’ and sometimes the ‘why’ of generalisation. From noticing pattern and structure, we develop properties. For example, early counting involves pattern and structure. The ‘fourness’ of a collection comes from noticing sameness among collections of four, irrespective of the size, colour, texture, etc. of the objects. Structure of counting involves ideas like the order of counting the objects doesn’t matter.

#### Specific Teaching Points

In upper primary school, learning experiences for algebraic thinking typically begin with patterns. Usually these patterns are spatial and may be connected to some meaningful life context, though number patterns are also rich in opportunity. Patterns involve variables, that is features, some of which can be quantified. For example, consider this simple spatial pattern.

Among the variables we might discern that the ‘tower’ has height and each ‘tower’ is made of some number of squares. Height and number of cubes may not be the only variables, just those we notice. Variables change, that is height varies and so does the number of squares in the ‘tower’. We might try to find a relation between the variables, describe and represent that relation, and use it to predict how the pattern grows beyond what we can see. Then we are thinking with the properties and representations in a sophisticated way.

On the way it is likely we will need to organise the data from the pattern systematically. A table of values is a productive generic strategy, so we represent the pattern like this:

The danger in moving to an organised numeric strategy like a table too early is that it may negate what we can ‘see’ in the pattern visually. Noticing and reasoning may be inductive, that is tied to the incremental change of the figures. فمثلا:

Noticing and reasoning can also be abductive, that is based on the structure of one example.

Noticing and reasoning can be deductive, that is based on making assumptions about structure and reasoning with the assumptions. For example, we might assume that the tower is composed of an array of something multiplied by three plus two.

From the assumptions we might deduce the appearance of towers much further on in the sequence, e.g. A tower 100 high will contain 2 + 99 x 3 squares. Ways of ‘seeing’ the pattern are manifest in relations within the table of values. For example, inductive thinking leads to seeing the values in the bottom row increasing by three each time. Abductive reasoning might support seeing this relation in the table:

Representing the relation as an algebraic equation involves two important and connected types of knowledge, related to the language conventions (semiotics), and to the nature of variables. We might write s = 3h – 1, or s = 3(h - 1) + 2, or s = 2h + (h – 1), depending on what we notice. The equations are meaningless to anyone else unless we clearly define what the variables, s and h, represent. Note that both and s refer to quantities that vary and are not fixed objects, such as houses or towers. Quantities are a combination of count and measurement unit. In this case h expresses unit lengths in height, and s refers to an area of squares. 3h means h multiplied by three, not thirty-something, and 3(h - 1) means that one is subtracted from h before the multiplication by three occurs. Working with variables requires acceptance of lack of closure, that is thinking with an object (h in this case) without specifically knowing what it is. For example, knowing that 3(h – 1) = 3h – 3 is true, irrespective of whatever the value of h, is itself a generalisation. The equals sign represents a statement of ‘transitive balance’ meaning that the balance is conserved if equivalent operations are performed on both sides of the equation. Knowledge of which operations conserve equality and those which disrupt it are important generalisations about the properties of numbers under those operations, e.g. distributive property of multiplication.

This unit specifically deals with relations that are linear. The first sign of linearity is that there is constant difference in the increase or decrease of one variable, as the value of the other increases by one. In the table above the number of squares increases by three as height increases by one.

Note that this graph shows a relation, not a function, since the values of variables are discrete, not continuous. There are some important connections between features of the algebraic equation, the table and the graph of a linear relation. Constant difference is represented by the co-efficient of the independent variable (s = 3h -1 in this case), differences of three in the bottom values of the table, and a slope of three (change in s for every unit change in h). The constant in the equation (- 1) is reflected in the table by a need to adjust the value of 3h by subtracting one to get the value of s, and reflected in the graph as a downward translation (shift) of the graph for s = 3h by one unit. This results in the intercept of the graph with the s axis being (0, -1), not the origin (0, 0).

Simple linear equations occur when the value of one variable in a relation or function is set and the other must be found. For example, with the tower problem this problem might be posed “A tower in the pattern has 98 squares. How high is the tower?” Depending on the equation used to represent the relation, this problem can be expressed as 3h – 1 = 98, 3(h – 1) + 2 = 98 or 2h + (h – 1) = 98. Linear equations with the variable on both sides occur when two conditions are equalised. An example might be, “Both Lilly and Todd look at the same tower. Lilly notices that the number of squares in the tower is three times the height less one. Todd notices that the number of squares is two times the height plus 18. How tall is the tower?” This problem can be written as 3h – 1 = 2h + 18.

• Attachments as listed at the bottom of the unit

#### Prior Experience

It is anticipated that students at Level 4 understand, and are proficient with, multiplicative thinking. However, the tasks in this unit are also accessible for students whose preference is additive thinking. In fact, the experiences may prompt a move towards multiplicative thinking.

#### Session One: Maia the Moa

In this session students are shown a spatial growth pattern for a moa made from square tiles. As Maia the moa ages she grows in her legs, body and neck while her feet and head remain constant. Session One is driven using PowerPoint One. The approach is to structure one example of the pattern then transfer that structure to other members of the pattern.

1. Show the students Slide One. Aim to identify features of the pattern that might become variables. بسأل: What do you notice about this figure?
Students might notice different features such as colour, height, width, age, total number of squares, etc.
2. بسأل: Is there an easy way to count the number of squares that Maia is made of?
3. Give students a while to structure their counting then ask them to share their method with others. Building a model of Maia at age three years with connecting cubes allows students to experiment with ways to partition the model. Encourage them to express their counting method as an expression. Use these videos to show examples of how to do this, but only if needed:
4. Ask students to apply their counting structures to Maia at age two years (Slide Two). Ask them to record expressions for their counting strategy and compare them to what they recorded for year four.
5. بسأل: What changes and what stays the same in your expressions?
For example, from Casey’s method these two expressions emerge:
4 + 2 x 3 + 2 (Age two) 6 + 2 x 5 + 2 (Age four)
The ‘+ 2’ is constant and ‘2 x’ is present in both expressions. The other numbers vary.
6. بسأل: What will your expression for Maia at age three years look like? Write the expression then check it by drawing a picture of Maia at age three (See Slide 3).
7. Ask students to show where the parts of their expressions come from in the picture. For Casey’s method the expression is 5 + 2 x 4 + 2. Slide 4 shows how parts of the diagram can be linked to parts of the expression. Look at the strategies of the students.
Are their strategies based on induction? That is sequential processing. For example, 4 , ? , 6, so ? = 5, and 2 x 3, 2 x ?, 2 x 5, so ? = 4.
8. Are their strategies based on deduction? That is reasoning about the structure of any term. For example, the first number is two more than the age, and the multiplier of two is one more than the age. So, for y = 3 Casey’s expression is 5 + 2 x 4 + 2.
9. Pose this problem for students to explore individually or in small co-operative groups:
Imagine that Maia celebrates her twentieth birthday.
How many squares will she be made of?
Find a way to predict the number of squares that Maia is made of for any age in years?
10. Allow students plenty of time to explore the problem. Look for the following:
• Do the students record the data systematically? For example, if they draw Maia at age five years. Are their structural counting methods consistent? Is their recording in sequence?
• Do students use inductive methods? For example, Maia increases by three squares each year.
• Do students use deductive methods? For example, applying Casey’s method Maia should be (20 + 2) + 2 x (20 + 1) + 2 on her twentieth birthday.
• How do students express their general rules? Do they use words?, e.g. “I take the age and add two to it to get the first number..” or do they attempt to symbolise their rules, e.g. Next number = number before + 3.
11. Bring the class together to discuss their methods with emphasis on the points above. Acknowledge the legitimacy of inductive methods but also highlight the power of deductive methods. Use questions like, “Which strategy would be better for finding out about Maia at 100 years of age?”

#### Session Two

This session builds on the Maia, the moa, pattern to represent the relation between age and number of squares using a table, a graph and an equation. Features of these representations are connected through looking at the effect of changing the original spatial pattern with focussed variation.

1. Open Excel or a similar spreadsheet program and create a blank workbook. You may need to have Slide 3 of PowerPoint One available for source data. Ask one of the students to set up a table like this:
2. Ask students what they notice in the table.
Some may notice missing values in the Age column, particularly the ages 0, and 1. Others may notice that the number of squares are all multiples of three. They may express this idea inductively, “The number of squares goes up by three.”
How can we continue the table to get more values?
3. Induction can be used to ‘fill down’ the values in both columns but deductive rules across the columns are more sophisticated. Video 2A shows how to create values by filling down. Video 2B is about using formulae across the columns. The videos can be stopped at any point for discussion. Video 2B goes straight to the most efficient rule but students could enter the rules they developed in Lesson One.
4. بسأل: Can you use Excel to show that your rule from yesterday works?
5. Next a graph is created from the table of values. Video 2C shows how to do this. Ask the students to create their own graph of Maia’s growth patterns and record some features that they notice.
Why are the points in a line? (This tell us that the relation is linear)
How steep is the line?
Note (0, 6) represents Maia’s situation upon hatching.
Where does it cross the s axis?
Why does it cross there? offers three scenarios in which Maia’s shape is changed in some way. The reason for doing this is to connect features of the table and graph with the spatial pattern. For each scenario students may need to draw the progression of each pattern back until Maia hatches. That will lead a table of values that can be graphed. Video 2D shows what happens when the original Maia growth pattern is altered by a constant, - 1 for losing her foot and + 2 for gaining a backpack. Video 2E and Video 2F show the effect of changing the co-efficient (multiplier) of a, in that the slope of the graph alters from three to four. Copymaster 1 provides printable versions and the start of a table for each.

#### Session Three

1. Remind the students of the rule that was entered into Excel to create the pattern in the Number of squares column for Maia’s original growth pattern (e.g. =(A2+2)*3).
What does A# represent? (Maia’s age in years, a). So instead of A# we could write = (a + 2) x 3 or = 3(a + 2).
What does this expression tell us? (The number of squares Maia is made up of). So we could write s = 3(a + 2).
2. Show the students PowerPoint Three which shows how linear equations can be represented using a length model. Work through the slides.
Do the students observe that a is free to take up different values? a is a variable. The twos remain equal in length as the value of a changes. So, +2 is a constant.
Pose this problem to the students.
3. Maia is made up of 144 squares. How old is she, in years?
This situation constrains s to 144 so a linear equation is created which might be expressed as 3(a + 2) = 144 or in other forms, dependent on the structure of the rule. For example, Katia’s method would yield 3a + 6 = 144. Student may need access to a picture of Maia’s growth pattern, e.g. Slide 3 of PowerPoint One.
4. Look to see whether the students use deductive reasoning or whether they are reliant on inductive methods.
For example, inductive methods might involve creating a table of values and extending it until the matching value of a is found. Spreadsheets make inductive methods easy to implement. A sign of reliance on additive methods would be repeated adding of three to find next values of s.
Deductive methods involve applying inverse operations to rules. For example, “I divided 144 by three to get 48, so the age plus two must equal 48.”
5. After a suitable time gather the class to discuss their strategies. Highlight the efficiency of deductive rules, which are sometimes referred to as function or direct rules, compared to lengthy inductive rules, which are sometimes referred to as recursive. Slides 5 and 6 show one way to solve the problem of Maia’s age when she is made of 144 squares.
6. The 144 squares problem shows how solving linear equations can lead to solutions efficiently. Play this video which introduces how to use the simplest version of the Visual Linear Algebra learning object. Allow students plenty of time to explore the object.

#### Session Four

In this session students investigate linear equations where the variable is present on both sides.

1. Begin with a reminder of how to solve linear equations in their simplest form by looking at the structural similarity of possible rules for Maia’s growth pattern. PowerPoint Four gives two possible rules attributed to hypothetical students. The rules may be alike some that the students created in Session One and Two. Slide Four shows the lengths rearranged end on end.
2. بسأل: Why do these rules give the same total for any value of a?
Do students recognise that both rules can be rearranged to give 3a + 6 which is Katia’s rule?
3. Possibly link the algebraic manipulation that matches the lengths in the diagram is students show interest. فمثلا:
(Leah’s rule) 3 (a + 1) + 3 = 3a + 3 + 3
= 3a + 6 (Katia’s rule)
4. Ask the students to use Katia’s rule to solve this problem:
Maia the moa is made of 222 squares. How old is Maia?
Do students apply inverse operations to both sides of the equation, 3a + 6 = 222, to find the solution?
5. Pose this problem:
Ken and Katia are looking at the same picture of Maia.
Katia says that the number of squares equals three times Maia’s age plus six.
Ken says that the number of squares equals four times Maia’s age minus 18.
They are both correct. How old is Maia?
6. Let the students work in small groups to solve the problem. Look for the following:
• Do they build up a table of value inductively to find a value for a that meets both conditions?
• Do they try values of a and ‘close in’ on the solution?
• Do they use their knowledge of equations to solve the problem?
7. Bring the class together to share their solution methods. Trial and improvement strategies can be very efficient in solving these types of problems, especially if the initial attempts are based on reasonable estimation. For example, setting a = 30 gives Ken’s number of squares at 102 and Katia’s at 96. So, is 30 too big or too small?
An equation based solution looks like:
3a + 6 = 4a – 18
3a + 24 = 4a (adding 18)
24 = a (subtracting 3a)
Note that there are many possible first moves.
8. Introduce the second learning object in the Visual Linear Algebra collection using this video. Allow students plenty of time to explore the tool.

#### Session Five

This session is intended as an opportunity for students to practice applying their understanding of linear relations and their techniques for solving linear equations.

Provide the students with copies of Copymaster 2 and encourage them to solve the problems in co-operative groups.

Dear parents and caregivers,

This week we are learning about linear relationships. Real life is full of situations where things grow at a constant rate, such as the money we earn for the hours we work, or the total cost related to the quantity we buy.

In the unit we will learn to represent linear relationships using tables of values, graphs and equations. We will use spreadsheets to solve problems with linear relations, and use a learning object to solve linear equations.