مقالات

1.3: الأعداد الصحيحة


ملخص

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تبسيط التعبيرات ذات القيمة المطلقة
  • جمع وطرح الأعداد الصحيحة
  • اضرب وقسم الأعداد الصحيحة
  • تبسيط التعبيرات باستخدام الأعداد الصحيحة
  • تقييم التعبيرات المتغيرة مع الأعداد الصحيحة
  • ترجمة العبارات إلى تعبيرات ذات أعداد صحيحة
  • استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في الجبر الابتدائي الفصل ، أسس.

بسّط التعبيرات ذات القيمة المطلقة

الرقم السالب هو رقم أقل من 0. الأرقام السالبة على يسار الصفر على خط الأعداد (الشكل ( PageIndex {1} )).


الشكل ( PageIndex {1} ). يوضح خط الأعداد موقع الأرقام الموجبة والسالبة.

ربما لاحظت أن الأرقام السالبة على خط الأعداد هي صورة معكوسة للأرقام الموجبة ، مع وجود صفر في المنتصف. نظرًا لأن الأرقام (2 ) و (- 2 ) هي نفس المسافة من الصفر ، يُطلق على كل رقم ضد من جهة أخرى. عكس (2 ) هو (- 2 ) ، وعكس (- 2 ) هو (2 ).

ضد

ال ضد من رقم هو الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب الآخر من الصفر.

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) التعريف.


الشكل ( PageIndex {2} ). عكس 3 هو (- 3 ).

ملاحظة المعارضين

[ start {align} & -a text {تعني عكس الرقم} a & text {The notation} -a text {يقرأ على أنه "عكس} a text {."} نهاية {محاذاة} ]

لقد رأينا أن الأعداد مثل 3 و 3 متضادتان لأنهما على مسافة متساوية من 0 على خط الأعداد. كلاهما ثلاث وحدات من 0. المسافة بين 0 وأي رقم على خط الأعداد تسمى قيمه مطلقه من هذا الرقم.

التعريف: القيمة المطلقة

ال قيمه مطلقه من رقم هو المسافة من 0 على خط الأعداد.

تتم كتابة القيمة المطلقة للرقم (n ) كـ (| n | ) و (| n | ≥0 ) لجميع الأرقام.

تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر.

فمثلا،

[ begin {align} & -5 text {is} 5 text {الوحدات بعيدًا عن 0 ، لذا} | -5 | = 5. & 5 text {is} 5 text {وحدات بعيدة عن 0 ، لذا} | 5 | = 5. نهاية {محاذاة} ]

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) هذه الفكرة.

لا تكون القيمة المطلقة للرقم سالبة أبدًا لأن المسافة لا يمكن أن تكون سالبة. الرقم الوحيد ذو القيمة المطلقة التي تساوي الصفر هو الرقم صفر نفسه لأن المسافة من 0 إلى 0 على خط الأعداد تساوي صفرًا من الوحدات.

في المثال التالي ، سنطلب التعبيرات ذات القيم المطلقة.

مثال ( PageIndex {1} )

أدخل (<، ،> ، ) أو (= ) لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

  1. ( mathrm {| −5 |} _ _ mathrm {- | −5 |} _ _ mathrm {- | 5 |} )
  2. ( نص {8 __− | −8 |} )
  3. ( نص {−9 __− | −9 |} )
  4. ( نص {- (- 16) __ | −16 |} ).
إجابه

أ.

( start {array} {lrcc} { text {} text {Simplify.} text {Order.} text {}} & {| −5 | 5 5 | −5 |} & { _ _ _ _ > >} & {- | −5 | −5 ​​−5 ​​- | −5 |} نهاية {مجموعة} )

ب.

( start {array} {llcc} { text {} text {Simplify.} text {Order.} text {}} & {8 8 8 8 } & { _ _ _ _ > >} & {- | −8 | −8 −8 - | −8 |} end {array} )

ج.

( start {array} {lrcc} { text {} text {Simplify.} text {Order.} text {}} & {−9 −9 −9 −9} & { _ _ _ _ = =} & {- | −9 | −9 −9 - | −9 |} end { مجموعة مصفوفة})

د.

( start {array} {lrcc} { text {} text {Simplify.} text {Order.} text {}} & {- (- 16) 16 16 - (- 16)} & { _ _ _ _ = =} & {- | −16 | 16 16 | −16 |} النهاية {مجموعة مصفوفة})

مثال ( PageIndex {2} )

أدخل (<، ،> ، ) أو (= ) لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

ⓐ (−9 \_\_−|−9|) ⓑ (2 \_\_−|−2|) ⓒ (−8 \_\_|−8|) ⓓ (−(−9) \_\_|−9|.)

إجابه

ⓐ (>) ⓑ (>) ⓒ (<)

ⓓ (=)

مثال ( PageIndex {3} )

أدخل (<،> ، ) أو (= ) لكل زوج من أزواج الأرقام التالية:

  1. (7 \_\_ −|−7|)
  2. (−(−10) \_ \_|−10|)
  3. (|−4| \_\_ −|−4|)
  4. (−1 \_\_ |−1|.)
إجابه

ⓐ (>) ⓑ (=) ⓒ (>)

ⓓ (<)

نضيف الآن أشرطة القيمة المطلقة إلى قائمة رموز التجميع الخاصة بنا. عندما نستخدم ترتيب العمليات ، فإننا أولاً نبسط داخل أشرطة القيمة المطلقة قدر الإمكان ، ثم نأخذ القيمة المطلقة للعدد الناتج.

تجميع الرموز

[ start {array} {lclc} text {الأقواس} & () & text {Braces} & {} text {Brackets} & [] & text {Absolute value} & || نهاية {مجموعة} ]

في المثال التالي ، نبسط التعابير الموجودة داخل أشرطة القيمة المطلقة أولًا مثلما نفعل مع الأقواس.

مثال ( PageIndex {4} )

بسّط: ( mathrm {24− | 19−3 (6−2) |} ).

إجابه

( start {array} {lc} text {} & 24− | 19−3 (6−2) | text {العمل داخل الأقواس أولاً:} & text {} text {طرح 2 من 6.} & 24− | 19−3 (4) | text {ضرب 3 (4).} & 24− | 19-12 | text {اطرح داخل أشرطة القيمة المطلقة.} & 24 - | 7 | text {خذ القيمة المطلقة.} & 24−7 text {Subtract.} & 17 end {array} )

مثال ( PageIndex {5} )

بسّط: (19− | 11−4 (3−1) | ).

إجابه

16

مثال ( PageIndex {6} )

بسّط: (9− | 8−4 (7−5) | ).

إجابه

9

جمع وطرح عدد صحيح

حتى الآن في أمثلةنا ، استخدمنا فقط أرقام العد والأرقام الصحيحة.

[ start {array} {ll} text {Counting number} & 1،2،3… text {عدد صحيح} 0،1،2،3…. نهاية {مجموعة} ]

يمنحنا عملنا مع الأضداد طريقة لتحديد أعداد صحيحة. الأعداد الصحيحة هي الأرقام (... −3، −2، −1،0،1،2،3 ... )

التعريف: الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة وأضدادها تسمى أعداد صحيحة.

الأعداد الصحيحة هي الأرقام

[…-3,-2,-1,0,1,2,3…,]

يشعر معظم الطلاب بالراحة مع حقائق الجمع والطرح للأرقام الموجبة. لكن القيام بالجمع أو الطرح بأرقام موجبة وسالبة قد يكون أكثر صعوبة.

سنستخدم عدَّادَي ألوان لنمذجة إضافة وطرح السلبيات بحيث يمكنك تصور الإجراءات بدلاً من حفظ القواعد.

تركنا لونًا واحدًا (أزرق) يمثل إيجابيًا. اللون الآخر (الأحمر) سيمثل السلبيات.

إذا كان لدينا عداد موجب واحد وعداد سلبي واحد ، فإن قيمة الزوج هي صفر. إنهم يشكلون زوجًا محايدًا. قيمة هذا الزوج المحايد هي صفر.

سنستخدم العدادات لتوضيح كيفية إضافة:

[5+3 ; ; ; ; ; ; −5+(−3) ; ; ; ; ; ; −5+3 ; ; ; ; ; ; ; 5+(−3)]

المثال الأول ، (5 + 3، ) يضيف 5 نقاط إيجابية و 3 إيجابيات - كلاهما إيجابيات.

المثال الثاني ، (- 5 + (- 3) ، ) يضيف 5 سلبيات و 3 سلبيات — كلاهما سلبيات.

عندما تكون العلامات متشابهة ، تكون العدادات كلها بنفس اللون ، ولذا نضيفها. في كل حالة نحصل على 8 - إما 8 إيجابيات أو 8 سلبيات.

إذن ماذا يحدث عندما تكون العلامات مختلفة؟ دعونا نضيف (- 5 + 3 ) و (5 + (- 3) ).

عندما نستخدم العدادات لنمذجة جمع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، فمن السهل معرفة ما إذا كان هناك المزيد من الأعداد الموجبة أو السالبة. إذن فنحن نعرف ما إذا كان المجموع سيكون موجبًا أم سالبًا.

مثال ( PageIndex {7} )

أضف: ⓐ (- 1 + (- 4) ) ⓑ (- 1 + 5 ) ⓒ (1 + (- 5) ).

إجابه

1 سلبي زائد 4 سلبيات يساوي 5 سلبيات

هناك المزيد من الإيجابيات ، لذا فإن المجموع موجب.

هناك عدد أكبر من السلبيات ، لذا فإن المجموع سالب.

مثال ( PageIndex {8} )

أضف: ⓐ (- 2 + (- 4) ) ⓑ (- 2 + 4 ) ⓒ (2 + (- 4) ).

إجابه

ⓐ (−6) ⓑ (2) ⓒ (−2)

مثال ( PageIndex {9} )

أضف: ⓐ (- 2 + (- 5) ) ⓑ (- 2 + 5 ) ⓒ (2 + (- 5) ).

إجابه

ⓐ (−7) ⓑ (3) ⓒ (−3)

سنستمر في استخدام العدادات لنمذجة عملية الطرح. ربما عندما كنت أصغر سنًا ، تقرأ ("5−3" ) كـ "5 يأخذ 3." عند استخدام العدادات ، يمكنك التفكير في الطرح بنفس الطريقة!

سنستخدم العدادات لإظهارها لطرح:

[5−3 ; ; ; ; ; ; −5−(−3) ; ; ; ; ; ; −5−3 ; ; ; ; ; ; 5−(−3) ]

المثال الأول ، (5−3 ) ، نطرح 3 إيجابيات من 5 إيجابيات وننتهي بإيجابيتين.

في المثال الثاني ، (- 5 - (- 3) ، ) نطرح 3 سلبيات من 5 سلبيات وننتهي مع 2 سلبيات.

استخدم كل مثال عدادات من لون واحد فقط ، وكان من السهل تطبيق نموذج "الاستبعاد" للطرح.

ماذا يحدث عندما يتعين علينا طرح رقم موجب ورقم سالب واحد؟ سنحتاج إلى استخدام عدادات زرقاء وحمراء بالإضافة إلى بعض الأزواج المحايدة. إذا لم يكن لدينا عدد العدادات اللازمة لسحبها ، نضيف أزواجًا محايدة. إضافة زوج محايد لا يغير القيمة. إنه مثل تغيير الأرباع إلى نيكل - القيمة هي نفسها ، لكنها تبدو مختلفة.

لنلق نظرة على (- 5−3 ) و (5 - (- 3) ).

نموذج الرقم الأول.
نضيف الآن الأزواج المحايدة المطلوبة.
نقوم بإزالة عدد العدادات المصممة بالرقم الثاني.
احسب ما تبقى.

مثال ( PageIndex {11} )

اطرح: ⓐ (6−4 ) ⓑ (- 6 - (- 4) ) ⓒ (- 6−4 ) ⓓ (6 - (- 4) ).

إجابه

ⓐ (2) ⓑ (−2) ⓒ (−10) ⓓ (10)

مثال ( PageIndex {12} )

اطرح: ⓐ (7−4 ) ⓑ (- 7 - (- 4) ) ⓒ (- 7−4 ) ⓓ (7 - (- 4) ).

إجابه

ⓐ (3) ⓑ (−3) ⓒ (−11) ⓓ (11)

هل لاحظت ذلك يمكن طرح الأرقام الموقعة عن طريق إضافة العكس؟ في المثال الأخير ، (- 3−1 ) هو نفسه (- 3 + (- 1) ) و (3 - (- 1) ) هو نفسه (3 + 1 ) . سترى غالبًا هذه الفكرة ، خاصية الطرح ، مكتوبة على النحو التالي:

التعريف: ملكية الطرح

[أ − ب = أ + (- ب) ]

إن طرح رقم يماثل إضافة نقيضه.

مثال ( PageIndex {13} )

بسّط: ⓐ (13−8 ) و (13 + (- 8) ) ⓑ (- 17−9 ) و (- 17 + (- 9) ) ⓒ (9 - (- 15) ) ) و (9 + 15 ) ⓓ (- 7 - (- 4) ) و (- 7 + 4 ).

إجابه

( start {array} {lccc} text {} & 13−8 & text {and} & 13 + (- 8) text {Subtract.} & 5 & text {} & 5 end {مجموعة مصفوفة})

( start {array} {lccc} text {} & −17−9 & text {and} & −17 + (- 9) text {Subtract.} & −26 & text {} & −26 نهاية {مجموعة} )

( start {array} {lccc} text {} & 9 - (- 15) & text {and} & 9 + 15 text {Subtract.} & 24 & text {} & 24 end {مجموعة مصفوفة})

( start {array} {lccc} text {} & −7 - (- 4) & text {and} & −7 + 4 text {Subtract.} & −3 & text {} & −3 نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {14} )

بسّط: ⓐ (21−13 ) و (21 + (- 13) ) ⓑ (- 11−7 ) و (- 11 + (- 7) ) ⓒ (6 - (- 13) ) ) و (6 + 13 ) ⓓ (- 5 - (- 1) ) و (- 5 + 1 ).

إجابه

ⓐ (8,8) ⓑ (−18,−18)

ⓒ (19,19) ⓓ (−4,−4)

مثال ( PageIndex {15} )

بسّط: ⓐ (15−7 ) و (15 + (- 7) ) ⓑ (- 14−8 ) و (- 14 + (- 8) ) ⓒ (4 - (- 19) ) ) و (4 + 19 ) ⓓ (- 4 - (- 7) ) و (- 4 + 7 ).

إجابه

ⓐ (8,8) ⓑ (−22,−22)

ⓒ (23,23) ⓓ (3,3)

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من ثلاثة أعداد صحيحة؟ نحن فقط نستخدم ترتيب العمليات كالمعتاد.

مثال ( PageIndex {16} )

بسّط: (7 - (- 4−3) −9. )

إجابه

( start {array} {lc} text {} & 7 - (- 4−3) −9 text {التبسيط داخل الأقواس أولاً.} & 7 - (- 7) −9 text {اطرح من اليسار إلى اليمين.} & 14-9 نص {طرح.} & 5 نهاية {مجموعة} )

بسّط: (8 - (- 3−1) −9. )

إجابه

3

مثال ( PageIndex {18} )

بسّط: (12 - (- 9−6) −14. )

إجابه

13

اضرب وقسم الأعداد الصحيحة

نظرًا لأن الضرب هو اختصار رياضي للإضافة المتكررة ، يمكن تطبيق نموذجنا بسهولة لإظهار مضاعفة الأعداد الصحيحة. دعونا نلقي نظرة على هذا النموذج الملموس لمعرفة الأنماط التي نلاحظها. سنستخدم نفس الأمثلة التي استخدمناها في الجمع والطرح. هنا ، نحن نستخدم النموذج فقط لمساعدتنا في اكتشاف النمط.

نتذكر أن كلمة aba تعني يضيف أ, ب مرات.

المثالان التاليان أكثر إثارة للاهتمام. ماذا يعني ضرب 5 في −3؟ هذا يعني طرح 5،3 مرات. بالنظر إلى الطرح على أنه "إزالة" ، فهذا يعني طرح 5 ، 3 مرات. لكن لا يوجد شيء نستبعده ، لذلك نبدأ بإضافة أزواج محايدة في مساحة العمل.

باختصار:

[ start {array} {ll} 5 · 3 = 15 & −5 (3) = - 15 5 (−3) = - 15 & (−5) (- 3) = 15 end {array} ]

لاحظ أنه من أجل ضرب عددين موقعة ، عندما يكون

[ text {علامات هي} textbf {نفسه} text {، المنتج هو} textbf {إيجابي.} text {علامات هي} textbf {مختلف} نص {، المنتج هو} textbf {سلبي.} ]

ماذا عن الانقسام؟ القسمة هي العملية العكسية للضرب. إذًا (15 ÷ 3 = 5 ) لأن (15 · 3 = 15 ). بالكلمات ، هذا التعبير يقول أنه يمكن تقسيم 15 إلى 3 مجموعات كل منها 5 لأن جمع خمسة ثلاث مرات يعطي 15. إذا نظرت إلى بعض الأمثلة على ضرب الأعداد الصحيحة ، يمكنك معرفة قواعد قسمة الأعداد الصحيحة.

[ start {array} {lclrccl} 5 · 3 = 15 & text {so} & 15 ÷ 3 = 5 & text {} −5 (3) = - 15 & text {so} & −15 ÷ 3 = −5 ​​(−5) (- 3) = 15 & text {so} & 15 ÷ (−3) = - 5 & text {} 5 (−3) = - 15 & text {ذلك } & −15 ÷ (−3) = 5 نهاية {مجموعة} ]

يتبع القسمة نفس قواعد الضرب فيما يتعلق بالإشارات.

تعدد وتقسيم الأرقام الموقّعة

لضرب وقسمة رقمين موقعين:

نفس العلاماتنتيجة
• اثنين من الإيجابياتإيجابي
• سلبيتانإيجابي

إذا كانت العلامات هي نفسها ، تكون النتيجة إيجابية.

علامات مختلفةنتيجة
• ايجابي وسلبيسلبي
• سلبي وإيجابيسلبي

إذا كانت العلامات مختلفة ، تكون النتيجة سلبية.

مثال ( PageIndex {19} )

اضرب أو اقسم: ⓐ (- 100 ÷ (−4) ) ⓑ (7⋅6 ) ⓒ (4 (−8) ) ⓓ (- 27 ÷ 3. )

إجابه

( start {array} {lc} text {} & −100 ÷ (−4) text {Divide ، بعلامات} text {نفس حاصل القسمة موجب.} & 25 نهاية {مجموعة} )

( start {array} {lc} text {} & 7 · 6 text {ضرب بنفس العلامات.} & 42 end {array} )

( start {array} {lc} text {} & 4 (−8) text {اضرب بعلامات مختلفة.} & −32 end {array} )

( start {array} {lc} text {} & −27 ÷ 3 text {Divide ، بعلامات مختلفة ،} text {حاصل القسمة سالب.} & 9 end {array} )

مثال ( PageIndex {20} )

اضرب أو اقسم: ⓐ (- 115 ÷ (−5) ) ⓑ (5⋅12 ) ⓒ (9 (−7) ) ⓓ (- 63 ÷ 7. )

إجابه

ⓐ 23 ⓑ 60 ⓒ −63 ⓓ −9

اضرب أو اقسم: ⓐ (- 117 ÷ (−3) ) ⓑ (3⋅13 ) ⓒ (7 (−4) ) ⓓ (- 42 ÷ 6 ).

إجابه

ⓐ 39 ⓑ 39 ⓒ −28 ⓓ −7

عندما نضرب رقمًا في 1 ، تكون النتيجة هي نفس الرقم. في كل مرة نضرب فيها رقمًا في 1 ، نحصل على نقيضه!

الضرب بـ −1

[- 1a = a ]

ضرب رقم في (- 1 ) يعطي عكسه.

تبسيط التعابير باستخدام الأعداد الصحيحة

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من رقمين في تعبير؟ لا يزال ترتيب العمليات ساريًا عند تضمين السلبيات. تذكر من فضلك اعذر عمتي العزيزة سالي؟

دعونا نجرب بعض الأمثلة. سنبسط التعبيرات التي تستخدم جميع العمليات الأربع مع الأعداد الصحيحة - الجمع والطرح والضرب والقسمة. تذكر أن تتبع ترتيب العمليات.

مثال ( PageIndex {22} )

بسّط: ⓐ ((- 2) ^ 4 ) ⓑ (- 2 ^ 4 ).

إجابه

لاحظ الفرق في الجزأين (أ) و (ب). في الجزء (أ) ، الأس يعني رفع ما بين الأقواس ، −2 إلى 4ذقوة. في الجزء (ب) ، الأس يعني رفع 2 إلى 4 فقطذ ثم تأخذ العكس.

( start {array} {lc} text {} & (−2) ^ 4 text {اكتب بشكل موسع.} & (−2) (- 2) (- 2) (- 2) text {ضرب.} & 4 (−2) (- 2) text {ضرب.} & −8 (−2) text {ضرب.} & 16 end {array} )

( start {array} {lc} text {} & −2 ^ 4 text {اكتب في شكل موسع.} & - (2 · 2 · 2 · 2) text {مطلوب منا find} & text {} text {عكس} 24. & text {} text {Multiply.} & - (4 · 2 · 2) text {Multiply.} & - (8 · 2) text {Multiply.} & −16 end {array} )

بسّط: ⓐ ((- 3) ^ 4 ) ⓑ (- 3 ^ 4 ).

إجابه

ⓐ 81 ⓑ −81

مثال ( PageIndex {24} )

بسّط: ⓐ ((- 7) ^ 2 ) ⓑ (- 7 ^ 2 ).

إجابه

ⓐ 49 ⓑ −49

أوضح لنا المثال الأخير الفرق بين ((- 2) ^ 4 ) و (- 2 ^ 4 ). هذا التمييز مهم لمنع الأخطاء المستقبلية. يذكرنا المثال التالي بالضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

مثال ( PageIndex {25} )

بسّط: ⓐ (8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 ) ⓑ (- 30 ÷ 2 + (- 3) (- 7) ).

إجابه

( start {array} {lc} text {} & 8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 text {الأس أولاً.} & 8 (−9) ÷ (−8) نص {ضرب.} & −72 ÷ (−8) text {Divide.} & 9 end {array} )

( start {array} {lc} text {} & −30 ÷ 2 + (- 3) (- 7) text {ضرب وقسم} text {من اليسار إلى اليمين ، لذا اقسم أولاً. } & −15 + (- 3) (- 7) text {Multiply.} & −15 + 21 text {Add.} & 6 end {array} )

بسّط: ⓐ (12 (−9) ÷ (−3) ^ 3 ) ⓑ (- 27 ÷ 3 + (- 5) (- 6). )

إجابه

ⓐ 4 ⓑ 21

مثال ( PageIndex {27} )

بسّط: ⓐ (18 (−4) ÷ (−2) ^ 3 ) ⓑ (- 32 ÷ 4 + (- 2) (- 7). )

إجابه

ⓐ 9 ⓑ 6

تقييم التعبيرات المتغيرة ذات الأعداد الصحيحة

تذكر أنه لإيجاد قيمة تعبير يعني التعويض برقم عن المتغير في التعبير. يمكننا الآن استخدام الأعداد السالبة وكذلك الأعداد الموجبة.

مثال ( PageIndex {29} )

أوجد: (3x ^ 2−2xy + 6y ^ 2 ) عندما (x = 1، y = −2 ).

إجابه

31

مثال ( PageIndex {30} )

أوجد: (4x ^ 2 − xy + 5y ^ 2 ) عندما (x = −2، y = 3 ).

إجابه

67

ترجمة العبارات إلى التعبيرات ذات الأعداد الصحيحة

ينطبق عملنا السابق في ترجمة اللغة الإنجليزية إلى الجبر أيضًا على العبارات التي تتضمن أرقامًا موجبة وسالبة.

مثال ( PageIndex {31} )

ترجمة وتبسيط: مجموع 8 و 12 ، زيادة بمقدار 3.

إجابه

( start {array} {lc} text {} & text {the} textbf {sum} underline { text {of}} ؛ –8 ؛ underline { text {and}} - 12 text {زيادة بمقدار} 3 text {Translate.} & [8 + (- 12)] + 3 text {تبسيط. احذر من الخلط بين} ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ & (−4) +3 text {الأقواس مع علامة القيمة المطلقة.} text {Add.} & −1 end {array} )

مثال ( PageIndex {32} )

ترجم وتبسيط مجموع 9 و 16 ، مع زيادة 4.

إجابه

((9+(−16))+4;−3)

مثال ( PageIndex {33} )

ترجم وتبسيط مجموع −8 و −12 بزيادة 7.

إجابه

((−8+(−12))+7;−13)

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات

سنضع الخطوط العريضة لخطة لحل التطبيقات. من الصعب العثور على شيء ما إذا كنا لا نعرف ما الذي نبحث عنه أو ما نسميه! لذلك عندما نحل تطبيقًا ما ، نحتاج أولاً إلى تحديد ما تطلب منا المشكلة إيجاده. ثم سنكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها. سنترجم العبارة إلى تعبير ثم نبسط التعبير للحصول على الإجابة. أخيرًا ، نلخص الإجابة في جملة للتأكد من أنها منطقية.

مثال ( PageIndex {34} ): كيفية حل مشكلات التطبيق باستخدام الأعداد الصحيحة

كانت درجة الحرارة في كيندالفيل بولاية إنديانا ذات صباح 11 درجة. بحلول منتصف بعد الظهر ، انخفضت درجة الحرارة إلى -9-9 درجات. ما هو الفرق في درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

إجابه






مثال ( PageIndex {35} )

كانت درجة الحرارة في أنكوريج ، ألاسكا في صباح أحد الأيام 15 درجة. بحلول منتصف بعد الظهر ، انخفضت درجة الحرارة إلى 30 درجة تحت الصفر. ما هو الفرق في درجات الحرارة في الصباح وبعد الظهر؟

إجابه

كان الفرق في درجات الحرارة 45 درجة فهرنهايت.

مثال ( PageIndex {36} )

كانت درجة الحرارة في دنفر 6 درجات في وقت الغداء. بحلول غروب الشمس ، انخفضت درجة الحرارة إلى -15 درجة. ما هو الفرق في وقت الغداء ودرجات حرارة غروب الشمس؟

إجابه

كان الفرق في درجات الحرارة 9 درجات.

استخدم الأعداد الصحيحة في التطبيقات.

  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. تحديد ما يطلب منا البحث عنه.
  3. اكتب عبارة الذي يعطي المعلومات للعثور عليه.
  4. يترجم العبارة لتعبير.
  5. تبسيط التعبير.
  6. إجابه السؤال بجملة كاملة.

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع الأعداد الصحيحة.

  • طرح الأعداد الصحيحة بالعدادات

المفاهيم الرئيسية

  • [ start {align} & −a text {يعني عكس الرقم} يُقرأ & text {التدوين} −a text {على أنه "عكس} a text {."} نهاية {محاذاة} ]
  • القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من 0 على خط الأعداد.

    القيمة المطلقة للرقم ن مكتوب كـ (| n | ) و (| n | ≥0 ) لجميع الأرقام.

    تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر.

  • [ start {array} {lclc} text {الأقواس} & () & text {Braces} & {} text {Brackets} & [] & text {Absolute value} & || نهاية {مجموعة} ]
  • خاصية الطرح
    (أ − ب = أ + (- ب) )
    إن طرح رقم يماثل إضافة نقيضه.
  • لضرب وقسمة رقمين موقعين:
    نفس العلاماتنتيجة
    • اثنين من الإيجابياتإيجابي
    • سلبيتانإيجابي
    إذا كانت العلامات هي نفسها ، تكون النتيجة إيجابية.
    علامات مختلفةنتيجة
    • ايجابي وسلبيسلبي
    • سلبي وإيجابيسلبي
    إذا كانت العلامات مختلفة ، تكون النتيجة سلبية.
  • الضرب في (−1)

    (- 1 أ = a )

    ضرب رقم في (- 1 ) يعطي عكسه.

  • كيفية استخدام الأعداد الصحيحة في التطبيقات.
    1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار
    2. تحديد ما يطلب منا البحث عنه.
    3. اكتب عبارة الذي يعطي المعلومات للعثور عليه.
    4. يترجم العبارة لتعبير.
    5. تبسيط التعبير.
    6. إجابه السؤال بجملة كاملة.

قائمة المصطلحات

قيمه مطلقه
القيمة المطلقة للرقم هي بعده عن (0 ) على خط الأعداد.
أعداد صحيحة
تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها الأعداد الصحيحة.
أرقام سالبة
الأعداد الأصغر من (0 ) هي أرقام سالبة.
ضد
عكس الرقم هو الرقم الذي هو على نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب المقابل للصفر.

هل # 1/3 # عدد منطقي ، غير منطقي ، طبيعي ، كامل أم عدد صحيح؟

# 1/3 # هو رقم منطقي ، كونه رقم على الشكل # p / q # حيث # p # و # q # هي أعداد صحيحة و # q! = 0 #.

إنه ليس عددًا طبيعيًا أو عددًا صحيحًا أو عددًا صحيحًا.

توضيح:

يمكن تصنيف الأرقام على النحو التالي:

الأرقام الطبيعية هي الأرقام # 0 ، 1 ، 2 ، 3. # أو # 1 ، 2 ، 3. #
بعض الناس يفضلون البدء في # 0 # والبعض الآخر في # 1 #.

الأعداد الصحيحة هي الأرقام # 0 ، 1 ، 2 ، 3. #
هذا هو نفس تعريف الأعداد الطبيعية تقريبًا ، ولكنه يتضمن صراحة # 0 #.

تتضمن الأعداد الصحيحة الأرقام السالبة مع الأعداد السابقة ، لذا فهي الأرقام # 0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، 3 ، -3. #

الأرقام المنطقية هي جميع الأرقام على شكل # p / q # حيث # p # و # q # هي أعداد صحيحة و # q! = 0 #. لاحظ أن هذا يتضمن الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، لأنه إذا تركت # q = 1 # ، فيمكن أن يكون # p / q = p / 1 # أي عدد صحيح.

الأعداد الحقيقية هي أي أرقام على السطر الحقيقي. يتضمن هذا أرقامًا منطقية ، ولكنه يتضمن أيضًا أرقامًا مثل #sqrt (2) # و # pi # ، وهي ليست منطقية.

الأرقام غير المنطقية هي أي أرقام ليست منطقية.

الأعداد الجبرية هي الأعداد التي هي جذور كثيرات الحدود مع معاملات عدد صحيح. على سبيل المثال ، # الجذر (3) (2) # جبري لأنه جذر # x ^ 3 - 2 = 0 #. كل رقم منطقي جبري.

الأعداد التجاوزية هي أرقام ليست جبرية. وهي تتضمن أرقامًا مثل # pi # و # e #. في الواقع ، معظم الأعداد الحقيقية متسامية.


☛ تنزيل تمرين NCERT Solutions Class 7 Maths الفصل 1 1.3

التمرين 1.3 الدرجة 7 الفصل 1 تحميل PDF

المزيد من التمارين في الفصل 7 الرياضيات الفصل 1


الأعداد الصحيحة الدرس 1.3: إضافة نفس الأرقام الموقعة

https://www.youtube.com/watch؟v=IkV-dHnDNAU - 6:48 نسخة فيديو من الدرس (سأقوم بإعادة العمل بها للحصول على صوت أفضل). (الجمهور: الطلاب).

https://www.youtube.com/watch؟v=hGVm2xs0 مقاطع فيديو HEA تشرح نماذج مختلفة لشرح إضافة وطرح الأعداد الصحيحة للطلاب (الجمهور: المعلمون)

بالنسبة للعديد من الطلاب البالغين ، تعد الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة مثالاً على الوقت الذي "تستمر فيه الرياضيات في تغيير القواعد". هذا هو الثالث من أصل ستة دروس ترشد الطلاب في بناء المفاهيم المجردة اللازمة لفهم إضافة الأعداد الصحيحة الإيجابية والسلبية.

سوف يستعرض هذا الدرس المعرفة السابقة حول الأرقام السالبة ويعلم إضافة أعداد صحيحة بنفس العلامة ، مع روابط لمواقف "الحياة الواقعية" مثل المكاسب والخسائر في ساحات كرة القدم أو عمليات السحب الزائد على الحساب المصرفي.

جمهور المتعلم / المستخدمون الأساسيون

هذا الدرس جزء من تسلسل منظم من الدروس المفاهيمية متعددة الحواس التي تبني مفاهيم الرياضيات الأساسية للطلاب الذين يعانون من حس الأعداد والحساب ، وخاصة معرفة ما يجب فعله مع المشكلات العملية. وهو مأخوذ من دورة "Transitions" الخاصة بكلية Parkland College للطلاب الذين لا تؤهلهم درجات اختبار تحديد المستوى لديهم للحصول على ما قبل الجبر. في 4 فصول دراسية ، تساءل أقل من 5٪ من الطلاب عما إذا كان وضعهم صالحًا أم لا. يدركون الحاجة إلى أكثر من مراجعة سريعة للرياضيات.

كلية التطوير المهني ومعايير الاستعداد الوظيفي (CCRS)

ممارسات الرياضيات الأساسية 1 ، 2

المستوى D (لأنه يتضمن أرقامًا سالبة - لا يُفترض أن الطلاب مؤهلون في المستويات الثلاثة الأولى.)

الوصف القياسي: فهم الرقم المنطقي كنقطة على خط الأعداد. قم بتمديد مخططات خط الأرقام وتنسيق المحاور المألوفة من الدرجات السابقة لتمثيل النقاط على الخط والمستوى بإحداثيات أرقام سالبة. (6.NS.6) • التعرف على الإشارات المعاكسة للأرقام على أنها تشير إلى مواقع على جوانب متقابلة للصفر على خط الأرقام ، وتعرف على عكس عكس الرقم هو الرقم نفسه ، على سبيل المثال ، - (- 3) = 3 ، وهذا 0 هو نقيضه. (6.NS.6a)

قم بإيجاد ووضع الأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية الأخرى على مخطط خط الأرقام الأفقي أو العمودي ، ابحث عن أزواج الأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية الأخرى ووضعها على مستوى إحداثيات. (6.NS.6c) فهم الترتيب والقيمة المطلقة للأرقام المنطقية. (6.NS.7)

فسر عبارات عدم المساواة على أنها بيانات حول الموضع النسبي لعددين على مخطط خط الأعداد. على سبيل المثال ، فسر –3 & gt –7 على أنها بيان أن –3 يقع على يمين –7 على خط أرقام موجه من اليسار إلى اليمين. (6.NS.7a)

كتابة وتفسير وشرح عبارات الترتيب للأرقام المنطقية في سياقات العالم الحقيقي. على سبيل المثال ، اكتب –3º C & gt –7º C للتعبير عن حقيقة أن –3º C أكثر دفئًا من –7º C. (6.NS.7b)

قم بتطبيق هذه المعرفة لإضافة أعداد صحيحة من نفس العلامة (مع تطبيقات على المواقف العملية مثل درجات الحرارة الباردة والديون).


محتويات

يمكن وضع تعليق توضيحي للرمز ℤ للإشارة إلى مجموعات مختلفة ، مع استخدام متنوع بين مؤلفين مختلفين: ℤ +، [4] ℤ+ أو ℤ & gt للأعداد الصحيحة الموجبة ، ℤ 0+ أو ℤ ≥ للأعداد الصحيحة غير السالبة ، و ℤ ≠ للأعداد الصحيحة غير الصفرية. يستخدم بعض المؤلفين ℤ * للأعداد الصحيحة غير الصفرية ، بينما يستخدمها آخرون للأعداد الصحيحة غير السالبة ، أو لـ <–1 ، 1>. بالإضافة إلى ذلك ، ℤص يستخدم للدلالة على إما مجموعة من وحدات الأعداد الصحيحة ص [4] (أي مجموعة فئات التطابق للأعداد الصحيحة) ، أو مجموعة ص - الأعداد الصحيحة. [8] [9] [10]

مثل الأعداد الطبيعية ، يتم إغلاق في إطار عمليتي الجمع والضرب ، أي أن مجموع وحاصل ضرب أي عددين صحيحين هو عدد صحيح. ومع ذلك ، مع إدراج الأعداد الطبيعية السالبة (والأهم من ذلك ، 0) ، ℤ ، على عكس الأرقام الطبيعية ، يتم إغلاقها أيضًا تحت الطرح. [11]

تشكل الأعداد الصحيحة حلقة غير متجانسة وهي الحلقة الأساسية ، بالمعنى التالي: بالنسبة لأي حلقة أحادية ، يوجد تشابه فريد للحلقة من الأعداد الصحيحة في هذه الحلقة. هذه الخاصية العالمية ، وهي أن تكون كائنًا أوليًا في فئة الحلقات ، تميز الحلقة ℤ.

ℤ ليست مغلقة عند القسمة ، لأن حاصل قسمة عددين صحيحين (على سبيل المثال ، 1 مقسومًا على 2) لا يلزم أن يكون عددًا صحيحًا. على الرغم من إغلاق الأعداد الطبيعية تحت الأسية ، فإن الأعداد الصحيحة ليست كذلك (نظرًا لأن النتيجة يمكن أن تكون كسرًا عندما يكون الأس سالبًا).

يسرد الجدول التالي بعض الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة أ , ب و ج :

خصائص الجمع والضرب على الأعداد الصحيحة
إضافة عمليه الضرب
إنهاء: أ + ب هو عدد صحيح أ × ب هو عدد صحيح
الترابطية: أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج أ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج
التبادلية: أ + ب = ب + أ أ × ب = ب × أ
وجود عنصر هوية: أ + 0 = أ أ × 1 = أ
وجود العناصر العكسية: أ + (−أ) = 0 الأعداد الصحيحة الوحيدة القابلة للعكس (تسمى الوحدات) هي and1 و 1.
التوزيعية: أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج) و (أ + ب) × ج = (أ × ج) + (ب × ج)
لا يوجد قواسم صفرية: لو أ × ب = 0 إذن أ = 0 أو ب = 0 (أو كلاهما)

في لغة الجبر المجرد ، تشير الخصائص الخمس الأولى المذكورة أعلاه للإضافة إلى أن ℤ ، بالإضافة إلى ذلك ، هي مجموعة أبيلية. وهي أيضًا مجموعة دورية ، حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح غير صفري كمجموع محدود 1 + 1 + ... + 1 أو (−1) + (−1) + ... + (1). في الواقع ، ℤ تحت الإضافة هي فقط مجموعة دورية لانهائية - بمعنى أن أي مجموعة دورية لا نهائية متشابهة لـ ℤ.

الخصائص الأربعة الأولى المذكورة أعلاه للضرب تقول أن ℤ تحت الضرب هو أحادي التبادل. ومع ذلك ، لا يحتوي كل عدد صحيح على معكوس ضربي (كما هو الحال مع الرقم 2) ، مما يعني أن ℤ تحت الضرب ليس مجموعة.

جميع القواعد من جدول الخصائص أعلاه (باستثناء الأخير) ، عند أخذها معًا ، تقول أن ℤ مع الجمع والضرب عبارة عن حلقة تبادلية مع الوحدة. إنه النموذج الأولي لجميع كائنات مثل هذه البنية الجبرية. فقط تلك المساواة في التعبيرات صحيحة في ℤ لجميع قيم المتغيرات ، والتي تكون صحيحة في أي حلقة تبادلية أحادية. ترتبط بعض الأعداد الصحيحة غير الصفرية بالصفر في حلقات معينة.

يعني عدم وجود قواسم صفرية في الأعداد الصحيحة (الخاصية الأخيرة في الجدول) أن الحلقة التبادلية هي مجال متكامل.

عدم وجود مقلوب مضاعفة ، وهو ما يعادل حقيقة أن ℤ ليست مغلقة تحت القسمة ، يعني أن ℤ هي ليس مجال. أصغر حقل يحتوي على الأعداد الصحيحة كإجراء فرعي هو حقل الأرقام المنطقية. يمكن محاكاة عملية بناء القيم المنطقية من الأعداد الصحيحة لتشكيل مجال الكسور في أي مجال متكامل. وبالعودة ، بدءًا من حقل رقم جبري (امتداد للأرقام المنطقية) ، يمكن استخراج حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به ، والتي تتضمن ℤ كعنوان فرعي لها.

على الرغم من أن القسمة العادية لم يتم تعريفها على ℤ ، إلا أن القسمة "مع الباقي" معرفة عليها. يطلق عليه التقسيم الإقليدي ، ويمتلك الخاصية المهمة التالية: بالنظر إلى عددين صحيحين أ و ب مع ب ≠ 0 ، توجد أعداد صحيحة فريدة ف و ص مثل ذلك أ = ف × ب + ص و 0 ≤ ص & lt | ب | ، أين | ب | يدل على القيمة المطلقة لـ ب . [12] العدد الصحيح ف يسمى حاصل القسمة و ص يسمى بقية من تقسيم أ بواسطة ب . تعمل الخوارزمية الإقليدية لحساب أكبر القواسم المشتركة على سلسلة من الأقسام الإقليدية.

مرة أخرى ، بلغة الجبر المجرد ، يقول ما سبق أن هو مجال إقليدي. هذا يعني أن ℤ هو مجال مثالي رئيسي ، وأي عدد صحيح موجب يمكن كتابته على أنه منتجات الأعداد الأولية بطريقة فريدة بشكل أساسي. [13] هذه هي النظرية الأساسية في الحساب.

ℤ هي مجموعة مرتبة تمامًا بدون حد علوي أو أدنى. يتم إعطاء ترتيب بواسطة:. −3 & lt −2 & lt −1 & lt 0 & lt 1 & lt 2 & lt 3 & lt. العدد الصحيح هو إيجابي إذا كانت أكبر من الصفر ، و نفي إذا كانت أقل من صفر. يتم تعريف الصفر على أنه ليس سالبًا أو موجبًا.

ترتيب الأعداد الصحيحة متوافق مع العمليات الجبرية بالطريقة التالية:

  1. لو أ & lt ب و ج & lt د ، من ثم أ + ج & lt ب + د
  2. لو أ & lt ب و 0 & الملازم ج ، من ثم أ & lt قبل الميلاد .

وبالتالي يتبع ذلك أن مع الترتيب أعلاه عبارة عن حلقة مرتبة.

الأعداد الصحيحة هي المجموعة الأبيلية الوحيدة غير البسيطة المرتبة تمامًا والتي تكون عناصرها الإيجابية مرتبة جيدًا. [14] هذا يعادل البيان القائل بأن أي حلقة تقييم نوثرية هي إما حقل - أو حلقة تقييم منفصلة.

في التعليم الابتدائي ، غالبًا ما يتم تعريف الأعداد الصحيحة بشكل حدسي على أنها الأعداد الطبيعية (الموجبة) والصفر ونفي الأعداد الطبيعية. ومع ذلك ، فإن أسلوب التعريف هذا يؤدي إلى العديد من الحالات المختلفة (يجب تحديد كل عملية حسابية على كل مجموعة من أنواع الأعداد الصحيحة) ويجعل من الممل إثبات أن الأعداد الصحيحة تخضع لقوانين الحساب المختلفة. [15] لذلك ، في رياضيات نظرية المجموعات الحديثة ، غالبًا ما يتم استخدام بناء أكثر تجريدًا [16] يسمح للفرد بتعريف العمليات الحسابية دون أي تمييز حالة. [17] وبالتالي يمكن تكوين الأعداد الصحيحة رسميًا على أنها فئات التكافؤ للأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية (أ,ب) . [18]

الحدس هو أن (أ,ب) تعني نتيجة الطرح ب من أ . [18] لتأكيد توقعاتنا بأن 1-2 و4-5 تدل على نفس الرقم ، نحدد علاقة التكافؤ

على هذه الأزواج مع القاعدة التالية:

يمكن تعريف جمع وضرب الأعداد الصحيحة من حيث العمليات المكافئة على الأعداد الطبيعية [18] باستخدام [(أ,ب)] للدلالة على فئة التكافؤ التي لها (أ,ب) كعضو ، لدى الفرد:

يتم الحصول على النفي (أو المعكوس الجمعي) لعدد صحيح عن طريق عكس ترتيب الزوج:

ومن ثم يمكن تعريف الطرح على أنه إضافة المعكوس الجمعي:

[(أ ، ب)] - [(ج ، د)]: = [(أ + د ، ب + ج)].

يتم إعطاء الترتيب القياسي للأعداد الصحيحة من خلال:

من السهل التحقق من أن هذه التعريفات مستقلة عن اختيار ممثلي فئات التكافؤ.

كل فئة معادلة لها عضو فريد من نوعه يكون من الشكل (ن، 0) أو (0 ،ن) (أو كلاهما في وقت واحد). العدد الطبيعي ن مع الفئة [(ن، 0)] (على سبيل المثال ، يتم تضمين الأرقام الطبيعية في الأعداد الصحيحة عن طريق إرسال الخريطة ن ل [(ن، 0)]) ، والفئة [(0 ،ن)] يرمز -ن (يغطي هذا جميع الفئات المتبقية ، ويمنح الفصل [(0،0)] مرة ثانية منذ −0 = 0.

هكذا، [(أ,ب)] يرمز لها

إذا تم تحديد الأعداد الطبيعية مع الأعداد الصحيحة المقابلة (باستخدام التضمين المذكور أعلاه) ، فإن هذا الاصطلاح لا يخلق أي غموض.

يستعيد هذا الترميز التمثيل المألوف للأعداد الصحيحة كـ <…، −2، −1، 0، 1، 2،…>.

في علم الكمبيوتر النظري ، يتم استخدام مناهج أخرى لبناء الأعداد الصحيحة بواسطة محرِّكات النظرية الآلية ومحركات إعادة كتابة المصطلح. يتم تمثيل الأعداد الصحيحة كمصطلحات جبرية مبنية باستخدام عدد قليل من العمليات الأساسية (على سبيل المثال ، صفر, succ, مقدس) وربما باستخدام الأعداد الطبيعية ، التي يُفترض أنها مبنية بالفعل (باستخدام ، على سبيل المثال ، نهج Peano).

يوجد ما لا يقل عن عشرة مثل هذه الإنشاءات من الأعداد الصحيحة الموقعة. [19] تختلف هذه التركيبات من عدة نواحٍ: عدد العمليات الأساسية المستخدمة في البناء ، والعدد (عادةً ، بين 0 و 2) وأنواع الحجج التي تقبلها هذه العمليات ، وجود أو عدم وجود أعداد طبيعية كوسائل لبعض of these operations, and the fact that these operations are free constructors or not, ie, that the same integer can be represented using only one or many algebraic terms.

The technique for the construction of integers presented above in this section corresponds to the particular case where there is a single basic operation زوج ( x , y ) that takes as arguments two natural numbers x and y , and returns an integer (equal to x − y ). This operation is not free since the integer 0 can be written زوج(0,0), or زوج(1,1), or زوج(2,2), etc. This technique of construction is used by the proof assistant Isabelle however, many other tools use alternative construction techniques, notable those based upon free constructors, which are simpler and can be implemented more efficiently in computers.

An integer is often a primitive data type in computer languages. However, integer data types can only represent a subset of all integers, since practical computers are of finite capacity. Also, in the common two's complement representation, the inherent definition of sign distinguishes between "negative" and "non-negative" rather than "negative, positive, and 0". (It is, however, certainly possible for a computer to determine whether an integer value is truly positive.) Fixed length integer approximation data types (or subsets) are denoted int or Integer in several programming languages (such as Algol68, C, Java, Delphi, etc.).

Variable-length representations of integers, such as bignums, can store any integer that fits in the computer's memory. Other integer data types are implemented with a fixed size, usually a number of bits which is a power of 2 (4, 8, 16, etc.) or a memorable number of decimal digits (e.g., 9 or 10).

The cardinality of the set of integers is equal to ℵ0 (aleph-null). This is readily demonstrated by the construction of a bijection, that is, a function that is injective and surjective from ℤ to ℕ . If ℕ₀ ≡ <0, 1, 2, . >then consider the function:

If ℕ ≡ <1, 2, 3, . >then consider the function:

If the domain is restricted to ℤ then each and every member of ℤ has one and only one corresponding member of ℕ and by the definition of cardinal equality the two sets have equal cardinality.

  1. ^Integer 's first literal meaning in Latin is "untouched", from في ("not") plus tangere ("to touch"). "Entire" derives from the same origin via the French word entier, which means both entire و integer. [1]
  1. ^ Evans, Nick (1995). "A-Quantifiers and Scope". In Bach, Emmon W. (ed.). Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. ص. 262. ISBN978-0-7923-3352-4 .
  2. ^
  3. Weisstein, Eric W."Counting Number". MathWorld.
  4. ^
  5. Weisstein, Eric W."Whole Number". MathWorld.
  6. ^ أبج
  7. "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 1 March 2020 . Retrieved 11 August 2020 .
  8. ^
  9. Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com . Retrieved 11 August 2020 .
  10. ^
  11. Miller, Jeff (29 August 2010). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Archived from the original on 31 January 2010 . Retrieved 20 September 2010 .
  12. ^
  13. Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. ص. 4. ISBN978-0-19-850195-4 . Archived from the original on 8 December 2016 . Retrieved 15 February 2016 .
  14. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
  15. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  16. ^
  17. Weisstein, Eric W."Z^*". MathWorld.
  18. ^
  19. "Integer | mathematics". Encyclopedia Britannica . Retrieved 11 August 2020 .
  20. ^
  21. "The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants — for Integers". Math Vault. 24 February 2019 . Retrieved 11 August 2020 .
  22. ^
  23. Serge, Lang (1993). Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley. pp. 86–87. ISBN978-0-201-55540-0 .
  24. ^
  25. Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN978-0-486-13709-4 . Archived from the original on 6 September 2015 . Retrieved 29 April 2015 . .
  26. ^
  27. Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ص. 86. ISBN978-0-486-45792-5 . Archived from the original on 8 December 2016 . Retrieved 15 February 2016 . .
  28. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  29. ^
  30. Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. ص. 126. ISBN978-0-7487-3515-0 . Archived from the original on 8 December 2016 . Retrieved 15 February 2016 . .
  31. ^ أبج
  32. Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. ص. 83. ISBN978-0-390-16895-5 .
  33. ^
  34. Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. سبرينغر. pp. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Archived from the original on 26 January 2018 . Retrieved 25 January 2018 .
    , Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover 0-671-46400-0)/(Paperback 0-671-62818-6)
  • Herstein, I.N., Topics in Algebra, Wiley 2 edition (June 20, 1975), 0-471-01090-1. , and Garrett Birkhoff Algebra, American Mathematical Society 3rd edition (1999). 0-8218-1646-2.

This article incorporates material from Integer on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.


NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 1 Integers Ex 1.3

NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 1 Integers Exercise 1.3
Ex 1.3 Class 7 Maths Question 1.
Find each of the following products:
(a) 3 × (-1)
(b) (-1) × 225
(c) (-21) × (-30)
(d) (-316) × (-1)
(e) (-15) × 0 × (-18)
(f) (-12) × (-11) × (10)
(g) 9 × (-3) × (-6)
(h) (-18) × (-5) × (-4)
(i) (-1) ×(-2) × (-3) × 4
(j) (-3) × (-6) × (-2) × (-1)
المحلول:
(a) 3 × (-1) = -3 × 1 = -3
(b) (-1) × 225 = -1 × 225 = -225
(c) (-21) × (-30) = (-) × (-) × 21 × 30 = 630
(d) (-316) × (-1) = (-) × (-) × 316 × 1 = 316
(e) (-15) × 0 × (-18) = 0 [∵ a × 0 = a]
(f) (-12) × (-11) × (10)
= (-) × (-) × 12 × 11 × 10 = 1320
(g) 9 × (-3) × (-6) = (-3) × (-6) × 9
= (—) × (-) × 3 × 6 × 9 = 162
(h) (-18) × (-5) × (-4)
= (-) × (-) × (-) × 18 × 5 × 4 = -360
(i) (-1) × (-2) × (-3) × 4
= (-) × (-) × (-) × 1 × 2 × 3 × 4 = -24
(j) (-3) × (-6) × (-2) × (-1)
= (-) × (-) × (-) × (-) × 3 × 6 × 2 × 1 = 36

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 2.
Verify the following:
(a) 18 × [7 + (-3)] = [18 × 7] + [18 × (-3)]
(b) (-21) × [(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
المحلول:
(a) 18 × [7 + (-3)] = [18 × 7] + [18 × (-3)]
LHS = 18 × [7 + (-3)] = 18 × 4 = 72
RHS = [18 × 7] + [18 × (-3)] = 126 + (-54)
= 126 – 54 = 72
LHS = RHS
Hence, verified.

(b) (-21) × [(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
LHS = (-21) × [(-4) + (-6)]
= (-21) × (-10)
= (-) × (-) × 21 × 10 = 210
RHS = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
= (84) + (126) = 84 + 126 = 210
LHS = RHS
Hence, verified.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 3.
(i) For any integer a, what is (-1) × a equal to?
(ii) Determine the integer whose product with (-1) is 0.
(a) -22
(b) 37
(c) 0
المحلول:
(i) (-1) × a = -a
(ii) (-1) × 0 = 0 [∵ a × 0 = 0]
Hence (c) 0 is the required integer.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 4.
Starting from (-1) × 5, write various products showing some pattern to show (-1) × (-1) = 1
المحلول:
(-1) × 5 = -5
(-1) × 4 = -4 = (-5) + 1
(-1) × 3 = -3 = (-4) + 1
(-1) × 2 = -2 = (-3) + 1
(-1) × (1) = -1 = (-2) + 1
(-1) × 0 = 0 – (-1) + 1
(-1) × (-1) = 1 = 0+1

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 5.
Find the product, using suitable properties:
(a) 26 × (-48) + (-48) × (-36)
(b) 8 × 53 × (-125)
(c) 15 × (-25) × (-4) × (-10)
(d) (-41) × 102
(e) 625 × (-35) + (-625) × 65
(f) 7 × (50 – 2)
(g) (-17) × (-29)
(h) (-57) × (-19) + 57
المحلول:
(a) 26 × (-48) + (-48) × (-36)
= -48 × [26 + (-36)] = -48 × [26 – 36] = -48 × -10 = 480 [Distributive property of multiplication over
addition]

(b) 8 × 53 × (-125) = 53 × [8 × (-125)]
[Associative property of multiplication] = 53 × (-1000) = -53000

(c) 15 × (-25) × (-4) × (-10)
= [(-25) × (-4)] × [15 × (-10)]
[Regrouping the terms] = 100 × (-150) = -15000

(d) (-41) × 102 = (-41) × [100 + 2]
= (-41) × 100 + (-41) × 2
[Distributive property of multiplication over addition] = -4100 – 82 = -4182

(e) 625 × (-35) + (-625) × 65
= 625 × [(-35) + (-65)]
[Distributive property of multiplication over addition]
= 625 × (-100) = -62500

(f) 7 × (50 – 2) = 7 × 48 = 336 or
7 × (50 – 2) = 7 × 50 -7 × 2 = 350 – 14 = 336 [Distributive property of multiplication over addition]

(g) (-17) × (-29) = (-17) × [30 + (-1)]
= (-17) × 30 + (-17) × (-1)
= -510 + 17 = -493
[Distributive property of multiplication over addition]

(h) (-57) × (-19) + 57 = 57 × 19 + 57
= 57 × 19 + 57 × 1 [Y (-) × (-) = (+)] [Distributive property of multiplication over addition]
= 57 × (19 + 1) = 57 × 20 = 1140

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 6.
A certain freezing process requires that room temperature be lowered from 40°C at the rate of 5°C every hour. What will be the room temperature 10 hours after the process begins?
المحلول:
Temperature of the room in the beginning = 40°C
Temperature after 1 hour
= 40°C – 1 × 5°C = 40°C – 5°C – 35°C
Similarly, temperature of the room after 10 hours
= 40°C – 10 × 5°C = 40°C – 50°C = -10°C

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 7.
In a class test containing 10 questions, 5 marks are awarded for every correct answer and (-2) marks are awarded for every incorrect answer and 0 for questions not attempted.
(i) Mohan gets four correct and si× incorrect answers. What is his score?
(ii) Reshma gets five correct answers and five incorrect answers, what is her score?
(iii) Heena gets two correct and five incorrect answers out of seven questions she attempts. What is her score?
المحلول:
(i) Marks awarded to Mohan = 4 × 5
=20 for correct answers Marks awarded to Mohan = 6 × (-2)
= -12 for incorrect answers.
∴ Total marks obtained by Mohan
= 20 + (-12) = 20 – 12 = 8

(ii) Marks awarded to Reshma for correct answers
= 5 × 5 = 25
Marks awarded to Reshma for incorrect answers
= 5 × (-2) = -10
∴ Total marks obtained by Reshma
= 25 + (-10) = 25 – 10 = 15

(iii) Marks awarded to Heena for correct answers
= 2 × 5 = 10
Marks awarded to Heena for incorrect answers
= 5 × (-2) = -10
Number of question not attempted by Heena
= 10 – (2 + 5) = 10 – 7 = 3
Marks awarded to Heena for non-attempted questions
=3×0=0
∴ Total marks obtained by Heena
= 10 + (-10) + 0 = 10-10+ 0 = 0

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 8.
A cement company earns a profit of ₹ 8 per bag of white cement sold and a loss of ₹ 5 per bag of grey cement sold.
(a) The company sells 3,000 bags of white cement and sold 5,000 bags of grey cement in a month. What is its profit or loss?
(b) What is the number of white cement bags it must sell to have neither profit nor loss, if the number of grey bags sold is 6,400 bags.
المحلول:
(a) Profit on one white cement bag = ₹ 8
loss on one grey cement bag = ₹ – 5
Profit on 3,000 bags of white cement
= ₹ (8 × 3,000) = ₹ 24,000
Loss on 5,000 bags of grey cement
= ₹ (-5 × 5000) = – ₹ 25,000
Total loss = – ₹ 25,000 + ₹ 24,000
= – ₹ 1000 i.e. ₹ 1000

(b) Selling price of grey bags at a loss of ₹ 5
= ₹ (5 × 6,400) – ₹ 32,000
For no profit and no loss, the selling price of white bags = ₹ 32,000
Rate of selling price of white bags at a profit of ₹ 8 per bag.
∴ Number of white cement bags sold
(=frac<32000><8>=4000)
Hence, the required number of bags = 4,000

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 9.
Replace the blank with an integer to make it a true statement.
(a) (-3) × __ = 27
(b) 5 × __ = -35
(c) __ × (-8) = -56
(d) __ × (-12) = 132
المحلول:
(a) (-3) × __ = 27 = (-3) × (-9) = 27 [∵ (-) × (-) = (+)]
(b) 5 × __ = -35 = 5 × (-7) = -35 [∵ (+) × (-) = (-)]
(c) __ × (-8) = -56 = 7 × (-8) = -56 [∵ (+) × (-) = (-)]
(d) __ × (-12) = 132 = (-11) × (-12) = 132 [∵ (-) × (-) = (+)]


1.3: Integers

SGrrOJO */t+S3cFL2FsB+4p6A%8Ri`DhOeBQunF&Mtr/, b=6ljhUr%Q[Ls

Construction¶

pandas can represent integer data with possibly missing values using arrays.IntegerArray . This is an extension types implemented within pandas.

Or the string alias "Int64" (note the capital "I" , to differentiate from NumPy’s 'int64' dtype:

All NA-like values are replaced with pandas.NA .

This array can be stored in a DataFrame or Series like any NumPy array.

You can also pass the list-like object to the Series constructor with the dtype.

Currently pandas.array() and pandas.Series() use different rules for dtype inference. pandas.array() will infer a nullable- integer dtype

For backwards-compatibility, Series infers these as either integer or float dtype

We recommend explicitly providing the dtype to avoid confusion.

In the future, we may provide an option for Series to infer a nullable-integer dtype.


NCERT Class 7 Mathematics First Chapter Integers Exercise 1.3 Solutions

(3) (i) For any integer a, what is (–1) × a equal to?

(ii) Determine the integer whose product with (–1) is (a) –22

(4) Starting from (–1) × 5, write various products showing some pattern to show (–1) × (–1) = 1.

(5) Find the product, using suitable properties:

Solution: – 1248 + 1728 = 480

(6) A certain freezing process requires that room temperature be lowered from 40°C at the rate of 5°C every hour. What will be the room temperature 10 hours after the process begins?

Solution: Initial temperature of the room = 40 o C

Change the temperature per hour = – 5 o C

Temperature change in 10 hours = (- 5) × 10 = -50 o C

The final temperature = <40 + (- 50)>o C = – 10 o C

(7) In a class test containing 10 questions, 5 marks are awarded for every correct answer and (–2) marks are awarded for every incorrect answer and 0 for questions not attempted.

(i) Mohan gets four correct and six incorrect answers. What is his score?

Solution: Score of Mohan = (4 × 5) +

(ii) Reshma gets five correct answers and five incorrect answers, what is her score?

Solution: (5 × 5) + <5 × (- 2)>= 25 + (- 10) = 15

(iii) Heena gets two correct and five incorrect answers out of seven questions she attempts. What is her score?

(8) A cement company earns a profit of Rs 8 per bag of white cement sold and a loss of Rs 5 per bag of grey cement sold.

(a) The company sells 3,000 bags of white cement and 5,000 bags of grey cement in a month. What is its profit or loss?

Hence, the company is loss Rs 1000.

(b) What is the number of white cement bags it must sell to have neither profit nor loss, if the number of grey bags sold is 6,400 bags.

Solution: Loss of 6400 grey bags is = 6400 × (- 5) = – 32000 rupees

Number of white cement bags are = 32000/8 = 4000.

(9) Replace the blank with an integer to make it a true statement.


Class 7 Maths Exercise 1.3

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 1. Find each of the following products:
(a) 3 × (–1)
(b) (–1) × 225
(c) (–21) × (–30)
(d) (–316) × (–1)
(e) (–15) × 0 × (–18)
(f) (–12) × (–11) × (10)
(g) 9 × (–3) × (– 6)
(h) (–18) × (–5) × (– 4)
(i) (–1) × (–2) × (–3) × 4
(j) (–3) × (–6) × (–2) × (–1)

(a) 3 × (–1)
By the rule of Multiplication of integers,
= 3 × (-1)
= -3 … [Since (+ × – = -)]

(b) (–1) × 225
By the rule of Multiplication of integers,
= (-1) × 225
= -225 … [Since (- × + = -)]

(c) (–21) × (–30)
By the rule of Multiplication of integers,
= (-21) × (-30)
= 630 … [Since (- × – = +)]

(d) (–316) × (–1)
By the rule of Multiplication of integers,
= (-316) × (-1)
= 316 … [Since (- × – = +)]

(e) (–15) × 0 × (–18)
By the rule of Multiplication of integers,
= (–15) × 0 × (–18)
= 0
Since, any integer is multiplied with zero and the answer is zero itself.

(f) (–12) × (–11) × (10)
By the rule of Multiplication of integers,
= (–12) × (-11) × (10)
First multiply the two numbers having same sign,
= 132 × 10 … [Since (- × – = +)] = 1320

(g) 9 × (–3) × (– 6)
By the rule of Multiplication of integers,
= 9 × (-3) × (-6)
First multiply the two numbers having same sign,
= 9 × 18 … [Since (- × – = +)] = 162

(h) (–18) × (–5) × (– 4)
By the rule of Multiplication of integers,
= (-18) × (-5) × (-4)
First multiply the two numbers having same sign,
= 90 × -4 … [Since (- × – = +)] = – 360 … [Since (+ × – = -)]

(i) (–1) × (–2) × (–3) × 4
By the rule of Multiplication of integers,
= [(–1) × (–2)] × [(–3) × 4] = 2 × (-12) … [Since (- × – = +), (- × + = -)] = – 24

(j) (–3) × (–6) × (–2) × (–1)
By the rule of Multiplication of integers,
= [(–3) × (–6)] × [(–2) × (–1)] First multiply the two numbers having same sign,
= 18 × 2 … [Since (- × – = +)
= 36

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 2. Verify the following:
(a) 18 × [7 + (–3)] = [18 × 7] + [18 × (–3)] (b) (–21) × [(– 4) + (– 6)] = [(–21) × (– 4)] + [(–21) × (– 6)]

From the given equation,
Let us consider the Left Hand Side (LHS) first = 18 × [7 + (–3)] = 18 × [7 – 3] = 18 × 4
= 72
Now, consider the Right Hand Side (RHS) = [18 × 7] + [18 × (–3)] = [126] + [-54] = 126 – 54
= 72
By comparing LHS and RHS,
72 = 72
LHS = RHS
Hence, the given equation is verified.

(b) (–21) × [(– 4) + (– 6)] = [(–21) × (– 4)] + [(–21) × (– 6)] From the given equation,
Let us consider the Left Hand Side (LHS) first = (–21) × [(– 4) + (– 6)] = (-21) × [-4 – 6] = (-21) × [-10] = 210
Now, consider the Right Hand Side (RHS) = [(–21) × (– 4)] + [(–21) × (– 6)] = [84] + [126] = 210
By comparing LHS and RHS,
210 = 210
LHS = RHS
Hence, the given equation is verified.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 3.
(i) For any integer a, what is (–1) × a equal to?
(ii) Determine the integer whose product with (–1) is
(a) –22 (b) 37 (c) 0

(i) For any integer a, what is (–1) × a equal to?
= (-1) × a = -a
Because, when we multiplied any integer a with -1, then we get additive inverse of that integer.

(ii) Determine the integer whose product with (–1) is

(a) –22
Now, multiply -22 with (-1), we get
= -22 × (-1)
= 22
Because, when we multiplied integer -22 with -1, then we get additive inverse of that integer.

(b) 37
Now, multiply 37 with (-1), we get
= 37 × (-1)
= -37
Because, when we multiplied integer 37 with -1, then we get additive inverse of that integer.

(c) 0
Now, multiply 0 with (-1), we get
= 0 × (-1)
= 0
Because, the product of negative integers and zero give zero only.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 4. Starting from (–1) × 5, write various products showing some pattern to show (–1) × (–1) = 1.

The various products are,
= -1 × 5 = -5
= -1 × 4 = -4
= -1 × 3 = -3
= -1 × 2 = -2
= -1 × 1 = -1
= -1 × 0 = 0
= -1 × -1 = 1

We concluded that the product of one negative integer and one positive integer is negative integer. Then, the product of two negative integers is a positive integer.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 5. Find the product, using suitable properties:
(a) 26 × (– 48) + (– 48) × (–36)
(b) 8 × 53 × (–125)
(c) 15 × (–25) × (– 4) × (–10)
(d) (– 41) × 102
(e) 625 × (–35) + (– 625) × 65
(f) 7 × (50 – 2)
(g) (–17) × (–29)
(h) (–57) × (–19) + 57

(a) 26 × (– 48) + (– 48) × (–36)

The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Addition.
= a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Let, a = -48, b = 26, c = -36
الآن،
= 26 × (– 48) + (– 48) × (–36)
= -48 × (26 + (-36)

(b) 8 × 53 × (–125)
The given equation is in the form of Commutative law of Multiplication.
= a × b = b × a
ثم،
= 8 × [53 × (-125)] = 8 × [(-125) × 53] = [8 × (-125)] × 53
= [-1000] × 53
= – 53000

(c) 15 × (–25) × (– 4) × (–10)
The given equation is in the form of Commutative law of Multiplication.
= a × b = b × a
ثم،
= 15 × [(–25) × (– 4)] × (–10)
= 15 × [100] × (–10)
= 15 × [-1000] = – 15000

(d) (– 41) × 102
The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Addition.
= a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
= (-41) × (100 + 2)
= (-41) × 100 + (-41) × 2
= – 4100 – 82
= – 4182

(e) 625 × (–35) + (– 625) × 65
The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Addition.
= a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
= 625 × [(-35) + (-65)] = 625 × [-100] = – 62500

(f) 7 × (50 – 2)
The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Subtraction.
= a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
= (7 × 50) – (7 × 2)
= 350 – 14
= 336

(g) (–17) × (–29)
The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Addition.
= a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
= (-17) × [-30 + 1] = [(-17) × (-30)] + [(-17) × 1] = [510] + [-17] = 493

(h) (–57) × (–19) + 57
The given equation is in the form of Distributive law of Multiplication over Addition.
= a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
= (57 × 19) + (57 × 1)
= 57 [19 + 1] = 57 × 20
= 1140

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 6. A certain freezing process requires that room temperature be lowered from 40°C at the rate of 5°C every hour. What will be the room temperature 10 hours after the process begins?

إجابه
From the question, it is given that
Let us take the lowered temperature as negative,
Initial temperature = 40 o C
Change in temperature per hour = -5 o C
Change in temperature after 10 hours = (-5) × 10 = -50 o C
Therefore, The final room temperature after 10 hours of freezing process = 40 o C + (-50 o C)
= -10 o C

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 7. In a class test containing 10 questions, 5 marks are awarded for every correct answer and (–2) marks are awarded for every incorrect answer and 0 for questions not attempted.
(i) Mohan gets four correct and six incorrect answers. What is his score?
(ii) Reshma gets five correct answers and five incorrect answers, what is her score?
(iii) Heena gets two correct and five incorrect answers out of seven questions she attempts. What is her score?

إجابه
From the question,
Marks awarded for 1 correct answer = 5
Then, Total marks awarded for 4 correct answer = 4 × 5 = 20
Marks awarded for 1 wrong answer = -2
Then, Total marks awarded for 6 wrong answer = 6 × -2 = -12
Therefore, Total score obtained by Mohan = 20 + (-12)
= 20 – 12
= 8

(ii) Reshma gets five correct answers and five incorrect answers, what is her score?

From the question,
Marks awarded for 1 correct answer = 5
Then, Total marks awarded for 5 correct answer = 5 × 5 = 25
Marks awarded for 1 wrong answer = -2
Then, Total marks awarded for 5 wrong answer = 5 × -2 = -10
Therefore, Total score obtained by Reshma = 25 + (-10)
= 25 – 10
= 15

(iii) Heena gets two correct and five incorrect answers out of seven questions she attempts. What is her score?

From the question,
Marks awarded for 1 correct answer = 5
Then, Total marks awarded for 2 correct answer = 2 × 5 = 10
Marks awarded for 1 wrong answer = -2
Then, Total marks awarded for 5 wrong answer = 5 × -2 = -10
Marks awarded for questions not attempted is = 0
Therefore, Total score obtained by Heena = 10 + (-10)
= 10 – 10
= 0

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 8. A cement company earns a profit of 8 per bag of white cement sold and a loss of 5 per bag of grey cement sold.
(a) The company sells 3,000 bags of white cement and 5,000 bags of grey cement in a month. What is its profit or loss?
(b) What is the number of white cement bags it must sell to have neither profit nor loss, if the number of grey bags sold is 6,400 bags.

(a) The company sells 3,000 bags of white cement and 5,000 bags of grey cement in a month. What is its profit or loss?
We denote profit in positive integer and loss in negative integer,
From the question,
Cement company earns a profit on selling 1 bag of white cement = ₹ 8 per bag
Then, Cement company earns a profit on selling 3000 bags of white cement = 3000 × ₹ 8
= ₹ 24000
Loss on selling 1 bag of grey cement = – ₹ 5 per bag
Then, Loss on selling 5000 bags of grey cement = 5000 × – ₹ 5
= – ₹ 25000
Total loss or profit earned by the cement company = profit + loss
= 24000 + (-25000)
= – ₹1000
Thus, a loss of ₹ 1000 will be incurred by the company.

(b) What is the number of white cement bags it must sell to have neither profit nor loss, if the number of grey bags sold is 6,400 bags.

We denote profit in positive integer and loss in negative integer,
From the question,
Cement company earns a profit on selling 1 bag of white cement = ₹ 8 per bag
Let the number of white cement bags be x.
Then, Cement company earns a profit on selling x bags of white cement = (x) × ₹ 8
= ₹ 8x
Loss on selling 1 bag of grey cement = – ₹ 5 per bag
ثم،
Loss on selling 6400 bags of grey cement = 6400 × – ₹ 5
= – ₹ 32000
حسب السؤال
Company must sell to have neither profit nor loss.
= Profit + loss = 0
= 8x + (-32000) =0
By sending -32000 from LHS to RHS it becomes 32000
= 8x = 32000
= x = 32000/8
= x = 4000

Hence, the 4000 bags of white cement have neither profit nor loss.

Ex 1.3 Class 7 Maths Question 9. Replace the blank with an integer to make it a true statement.
(a) (–3) × _____ = 27
(b) 5 × _____ = –35
(c) _____ × (– 8) = –56
(d) _____ × (–12) = 132

(a) (–3) × _____ = 27
Let us assume the missing integer be x,
ثم،
= (–3) × (x) = 27
= x = – (27/3)
= x = -9
Let us substitute the value of x in the place of blank,
= (–3) × (-9) = 27 … [Since (- × – = +)]

(b) 5 × _____ = –35
Let us assume the missing integer be x,
ثم،
= (5) × (x) = -35
= x = – (-35/5)
= x = -7
Let us substitute the value of x in the place of blank,
= (5) × (-7) = -35 … [Since (+ × – = -)]

(c) _____ × (– 8) = –56
Let us assume the missing integer be x,
ثم،
= (x) × (-8) = -56
= x = (-56/-8)
= x = 7
Let us substitute the value of x in the place of blank,
= (7) × (-8) = -56 … [Since (+ × – = -)]

(d) _____ × (–12) = 132
Let us assume the missing integer be x,
ثم،
= (x) × (-12) = 132
= x = – (132/12)
= x = – 11
Let us substitute the value of x in the place of blank,
= (–11) × (-12) = 132 … [Since (- × – = +)]


شاهد الفيديو: Vermenigvuldig breuke met heelgetalle van somme (ديسمبر 2021).