مقالات

15.5 هـ: تمارين للقسم 15.5 - الرياضيات


في التدريبات من 1 إلى 8 ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية ( displaystyle iiint_E f (x، y، z) ، dV ) على (E ).

1. (f (x، y، z) = z، quad B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، quad x leq 0، quad y leq 0، quad 0 leq z leq 1 big } )

إجابه:
( فارك {9 بي} {8} )

2. (f (x، y، z) = xz ^ 2، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 16، space x geq 0، space y leq 0، space -1 leq z leq 1 big } )

3. (f (x، y، z) = xy، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 1، space x geq 0، space x geq y، space -1 leq z leq 1 big } )

إجابه:
( فارك {1} {8} )

4. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 4، space x geq 0، space x leq y، space 0 leq z leq 3 big } )

5. (f (x، y، z) = e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}، space B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4، space y leq 0، space x leq y sqrt {3}، space 2 leq z leq 3 big } )

إجابه:
( frac { pi e ^ 2} {6} )

6. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، space y leq 0، space 0 leq z leq 1 big } )

7. أ. دع (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي (أ ) نصف قطر خارجي (ب ) وارتفاع (ج ) حيث (0 <أ <ب ) و (ج> 0 ). افترض أنه يمكن التعبير عن دالة (F ) محددة في (B ) بإحداثيات أسطوانية كـ (F (x ، y ، z) = f (r) + h (z) ) ، حيث (f ) و (ح ) وظائف قابلة للتفاضل. إذا كان ( displaystyle int_a ^ b bar {f} (r) ، dr = 0 ) و ( bar {h} (0) = 0 ) ، حيث ( bar {f} ) و ( bar {h} ) هما مشتقات عكسية لـ (f ) و (h ) ، على التوالي ، أظهر أن ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = 2 pi ج (b bar {f} (b) - a bar {f} (a)) + pi (b ^ 2 - a ^ 2) bar {h} (c). )

ب. استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B left (z + sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} right) ، dx space dy space dz = 6 pi ^ 2 ( pi - 2) ، ) حيث (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي ( pi ) نصف قطر خارجي (2 pi ) ، وارتفاع (2 ).

8. لنفترض أن (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي (أ ) نصف قطر خارجي (ب ) وارتفاع (ج ) حيث (0 <أ <ب ) و (ج> 0 ). افترض أنه يمكن التعبير عن دالة (F ) محددة في (B ) بإحداثيات أسطوانية كـ (F (x ، y ، z) = f (r) g ( theta) f (z) ) ، حيث (f ، space g ، ) و (h ) هي وظائف قابلة للتفاضل. إذا كان ( displaystyle int_a ^ b tilde {f} (r) ، dr = 0، ) حيث ( tilde {f} ) هو مشتق عكسي لـ (f ) ، أظهر ذلك ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = [b tilde {f} (b) - a tilde {f} (a)] [ tilde {g} (2 pi) - tilde {g} (0)] [ tilde {h} (c) - tilde {h} (0)]، ) حيث ( tilde {g} ) و ( tilde {h} ) هي المشتقات العكسية لـ (ز ) و (ح ) على التوالي.

ب. استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B z sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، dx space dy space dz = - 12 pi ^ 2،) حيث (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي ( pi ) نصف قطر خارجي (2 pi ) وارتفاع (2 ).

في التدريبات 9-12 ، حدود المجسم (E ) موضحة بإحداثيات أسطوانية.

أ. عبر عن المنطقة (هـ ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_E f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية.

9. (E ) يحدها الأسطوانة الدائرية اليمنى (r = 4 sin theta ) ، (r theta ) - الطائرة ، والكرة (r ^ 2 + z ^ 2 = 16 ).

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq theta leq pi، space 0 leq r leq 4 sin theta، space 0 leq z leq sqrt {16 - r ^ 2} big } )

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {4 sin theta} int_0 ^ { sqrt {16-r ^ 2}} f (r، theta، z) r ، dz space الدكتور الفضاء د ثيتا )

10. (E ) يحدها الأسطوانة الدائرية اليمنى (r = cos theta ) ، (r theta ) - الطائرة ، والكرة (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ).

11. (E ) يقع في الثماني الأول ويحده مكافئ دائري (z = 9 - 3r ^ 2 ) ، والأسطوانة (r = sqrt {3} ) ، والمستوى (ص ( كوس ثيتا + خطيئة ثيتا) = 20 - ض ).

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq theta leq frac { pi} {2}، space 0 leq r leq sqrt {3 } ، space 9 - r ^ 2 leq z leq 10 - r ( cos theta + sin theta) big } )

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { sqrt {3}} int_ {9-r ^ 2} ^ {10-r ( cos theta + sin theta)} و (r، theta، z) r space dz space dr space d theta )

12. (E ) يقع في الثماني الأول خارج مكافئ دائري (z = 10 - 2r ^ 2 ) وداخل الاسطوانة (r = sqrt {5} ) ويحدها أيضًا المستويات (z = 20 ) و ( theta = frac { pi} {4} ).

في التدريبات من 13 إلى 16 ، يتم إعطاء الوظيفة (و ) والمنطقة (هـ ).

أ. عبر عن المنطقة (E ) والوظيفة (f ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية وقيمها.

13. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 )، (E = كبير {(x، y، z) ، | ، 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، space x geq 0، space y geq 0، space 0 leq z leq x + 3 big } )

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq r leq 3، space 0 leq theta leq frac { pi} {2}، space 0 leq z leq r space cos theta + 3 big } ، )
(f (r، theta، z) = frac {1} {r space cos theta + 3} )

ب. ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {r space cos theta + 3} frac {r} {r space cos theta + 3} ، dz space d theta space dr = frac {9 pi} {4} )

14. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2، space E = big {(x، y، z) | 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ، space y geq 0، space 0 leq z leq 3 - x big } )

15. (f (x، y، z) = x، space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq y ^ 2 + z ^ 2 leq 9، مسافة 0 leq x leq 1 - y ^ 2 - z ^ 2 big } )

إجابه:

أ. (y = r space cos theta ، space z = r space sin theta ، space x = z ، space E = كبير {(r ، theta ، z) ، | ، 1 leq r leq 3، space 0 leq theta leq 2 pi ، space 0 leq z leq 1 - r ^ 2 big } ، space f (r ، theta ، z ) = ض ) ؛

ب. ( displaystyle int_1 ^ 3 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ {1-r ^ 2} zr space dz space d theta space dr = frac {356 pi} {3} )

16. (f (x، y، z) = y، space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + z ^ 2 leq 9، مسافة 0 leq y leq 1 - x ^ 2 - z ^ 2 big } )

في التدريبات من 17 إلى 24 ، أوجد حجم المجسم (E ) الذي ترد حدوده بإحداثيات مستطيلة.

17. (E ) أعلى مستوى (س ص ) - داخل الأسطوانة (س ^ 2 + ص ^ 2 = 1 ) ، وأسفل المستوى (ض = 1 ).

إجابه:
( بي )

18. (E ) أسفل المستوى (z = 1 ) وداخل مكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).

19. يحد (E ) مخروط دائري (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) و (z = 1 ).

إجابه:
( frac { pi} {3} )

20. (E ) يقع فوق (xy ) - المستوى ، أسفل (z = 1 ) ، خارج القطعة الزائدة أحادية الورقة (x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 = 1 ) وداخل الاسطوانة (س ^ 2 + ص ^ 2 = 2 ).

21. (E ) يقع داخل الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) وبين الأشكال المكافئة الدائرية (z = 1 - x ^ 2 - y ^ 2 ) و (z = س ^ 2 + ص ^ 2 ).

إجابه:
( بي )

22. (E ) يقع داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) ، فوق المستوى (xy ) ، وداخل المخروط الدائري (z = ) الجذر التربيعي {x ^ 2 + y ^ 2} ).

23. (E ) يقع خارج المخروط الدائري (x ^ 2 + y ^ 2 = (z - 1) ^ 2 ) وبين المستويات (z = 0 ) و (z = 2 ) ).

إجابه:
( فارك {4 بي} {3} )

24. (E ) يقع خارج المخروط الدائري (z = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، أعلى مستوى (xy ) - ، أسفل مكافئ دائري ، وبين الطائرات (ض = 0 ) و (ض = 2 ).

25. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لرسم بياني على المادة الصلبة التي يتم تحديد حجمها من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الأسطوانية ( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 2} ^ rr ، dz ، dr ، d theta. ) ابحث عن وحدة التخزين (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

إجابه:

(V = frac {pi} {12} حوالي 0.2618 )

26. [T] استخدم CAS لرسم بياني على المادة الصلبة التي يتم تحديد حجمها من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الأسطوانية ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 4} ^ rr ، dz ، dr ، d theta. ) أوجد حجم (E ) من المادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

27. تحويل ( displaystyle int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-y ^ 2}} int_ {x ^ 2 + y ^ 2} ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xz space dz space dx space dy ) في جزء لا يتجزأ من الإحداثيات الأسطوانية.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi} int_ {r ^ 2} ^ r zr ^ 2 space cos theta ، dz space d theta space dr )

28. حوّل التكامل ( displaystyle int_0 ^ 2 int_0 ^ y int_0 ^ 1 (xy + z) ، dz space dx space dy ) إلى تكامل في إحداثيات أسطوانية.

في التدريبات 29-32 ، احسب التكامل الثلاثي ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) على المادة الصلبة (B ).

29. (f (x، y، z) = 1، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 90، مساحة z geq 0 كبير } )

[إخفاء الحل]

إجابه:
(180 pi sqrt {10} )

30. (f (x، y، z) = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 9، space y geq 0، space z geq 0 big } )

31. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B ) يحدها من الأعلى بنصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) مع (z geq 0 ) وأدناه بالمخروط (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

إجابه:
( frac {81 pi ( pi - 2)} {16} )

32. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B ) يحدها من الأعلى بنصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) مع (z geq 0 ) وأدناه بالمخروط (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

33. أظهر أنه إذا كانت (F ( rho، theta، varphi) = f ( rho) g ( theta) h ( varphi) ) هي دالة مستمرة في المربع الكروي (B = big {( rho، theta، varphi) ، | ، a leq rho leq b، space alpha leq theta leq beta، space gamma leq varphi leq psi big } ) ثم ( displaystyle iiint_B F space dV = left ( int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) space dr right) left ( int _ { alpha } ^ { beta} g ( theta) space d theta right) left ( int _ { gamma} ^ { psi} h ( varphi) space sin varphi space d varphi حق).)

34. يقال أن الوظيفة (F ) لها تناظر كروي إذا كانت تعتمد على المسافة إلى الأصل فقط ، أي يمكن التعبير عنها في إحداثيات كروية كـ (F (x، y، z) = f ( rho) ) ، حيث ( rho = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). بيّن أن ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = 2 pi int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) ، d rho،) حيث (B ) هي المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية الأعلى متحدة المركز من نصف القطر (أ ) و (ب ) متمركزة في الأصل ، مع (0 <أ <ب ) و (F ) دالة كروية محددة في (ب) ).

استخدم النتيجة السابقة لتوضح أن ( displaystyle iiint_B (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} dV = 21 pi،) حيث (B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2، space z geq 0 big } ) .

35. اسمحوا (B ) أن تكون المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية العلويين من أنصاف الأقطار أ و ب تتمحور في الأصل وتقع في الثماني الأول ، حيث (0 F وظيفة محددة على ب شكله في الإحداثيات الكروية (( rho، theta، varphi) ) هو (F (x، y، z) = f ( rho) cos varphi ). أظهر ذلك إذا (g (a) = g (b) = 0 ) و ( displaystyle int_a ^ bh ( rho) ، d rho = 0، ) ثم (displaystyle iiint_B F ( x، y، z) ، dV = frac { pi ^ 2} {4} [ah (a) - bh (b)]، ) حيث (g ) هو مشتق عكسي لـ (f ) و (ح ) مشتق عكسي لـ (ز ).

استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B = frac {z cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} ، dV = frac {3 pi ^ 2} {2}، ) حيث (B ) هي المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية العلويين من أنصاف أقطار ( pi ) و (2 بي) ) متمركزة في الأصل وتقع في الثماني الأول.

في التدريبات 36-39 ، يتم إعطاء الوظيفة (f ) والمنطقة (E ).

أ. عبر عن المنطقة (E ) والوظيفة (f ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية وقيمها.

36. (f (x، y، z) = z؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 1 ، space z geq 0 كبير } )

37. (f (x، y، z) = x + y؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2، space z geq 0، space y geq 0 big } )

إجابه:

أ. (f ( rho، theta، varphi) = rho space sin varphi space ( cos theta + sin theta) ، space E = big {( rho، theta ، varphi) ، | ، 1 leq rho leq 2 ، space 0 leq theta leq pi ، space 0 leq varphi leq frac { pi} {2} big } ) ؛

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 2 rho ^ 3 cos varphi space sin varphi space d rho space d varphi space د ثيتا = فارك {15 بي} {8} )

38. (f (x، y، z) = 2xy؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2} ، space x geq 0 ، space y geq 0 big } )

39. (f (x، y، z) = z؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2x leq 0، space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z big } )

إجابه:

أ. (f ( rho، theta، varphi) = rho space cos varphi؛ space E = big {( rho، theta، varphi) ، | ، 0 leq rho leq 2 space cos varphi ، space 0 leq theta leq frac { pi} {2} ، space 0 leq varphi leq frac { pi} {4} big } ) ؛

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ {2 space cos varphi} rho ^ 3 sin varphi space cos varphi space د rho space d varphi space d theta = frac {7 pi} {24} )

في التدريبات 40-41 ، أوجد حجم المجسم (E ) الذي ترد حدوده بإحداثيات مستطيلة.

40. (E = big {(x، y، z) ، | ، sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {16 - x ^ 2 - y ^ 2 }، space x geq 0، space y geq 0 big } )

41. (E = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2z leq 0، space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z كبير } )

إجابه:
( frac { pi} {4} )

42. استخدم الإحداثيات الكروية للعثور على حجم الجسم الصلب الموجود خارج الكرة ( rho = 1 ) وداخل الكرة ( rho = cos varphi ) ، مع ( varphi in [0 ، frac { pi} {2}] ).

43. استخدم الإحداثيات الكروية لإيجاد حجم الكرة ( rho leq 3 ) الواقعة بين الأقماع ( varphi = frac { pi} {4} ) و ( varphi = frac { pi} {3} ).

إجابه:
(9 بي ( الجذر التربيعي {2} - 1) )

44. تحويل التكامل ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-y ^ 2}} int _ {- sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ، dz ، dx ، dy ) في الإحداثيات الكروية.

45. تحويل التكامل ( displaystyle int_0 ^ 4 int_0 ^ { sqrt {16-x ^ 2}} int _ {- sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 ، dz space dy space dx ) في جزء لا يتجزأ من الإحداثيات الكروية.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 rho ^ 6 sin varphi ، d rho ، d phi ، d theta )

47. [T] استخدم CAS لرسم بياني على الجسم الذي يتم تحديد حجمه من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الكروية ( displaystyle int _ { pi / 2} ^ { pi} int_ {5 pi} ^ { pi / 6} int_0 ^ 2 rho ^ 2 sin varphi space d rho space d varphi space d theta. ) ابحث عن وحدة التخزين (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إجابه:

(V = frac {4 pi sqrt {3}} {3} حوالي 7.255 )

48. [T] استخدم CAS لرسم بياني على الجسم الذي يتم تحديد حجمه من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الكروية مثل ( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_ {3 pi / 4} ^ { pi / 4} int_0 ^ 1 rho ^ 2 sin varphi space d rho space d varphi space d theta. ) أوجد الحجم (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

49. [T] استخدم CAS لتقييم التكامل ( displaystyle iiint_E (x ^ 2 + y ^ 2) ، dV ) حيث يقع (E ) فوق المكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) وتحت المستوى (z = 3y ).

إجابه:
( فارك {343 بي} {32} )

50. [T]

أ. احسب التكامل ( displaystyle iiint_E e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} ، dV، ) حيث (E ) يحده كرات (4x ^ 2 + 4y ^ 2 + 4z ^ 2 = 1 ) و (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ).

ب. استخدم CAS لإيجاد تقريب التكامل السابق. حول إجابتك بفاصلتين.

51. عبر عن حجم المادة الصلبة داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) وخارج الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) على شكل تكاملات ثلاثية في شكل أسطواني. الإحداثيات والإحداثيات الكروية ، على التوالي.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_2 ^ 4 int _ {- sqrt {16 − r ^ 2}} ^ { sqrt {16 − r ^ 2}} r ، dz ، dr و dθ ) و ( displaystyle int _ { pi / 6} ^ {5 pi / 6} int_0 ^ {2 pi} int_ {2 csc phi} ^ {4} rho ^ 2 sin rho ، d rho ، d theta ، d phi )

52. عبر عن حجم المادة الصلبة داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) وخارج الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) الموجودة في الثماني الأول كتكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية ، على التوالي.

53. للقدرة المنبعثة من الهوائي كثافة قدرة لكل وحدة حجم معطاة في إحداثيات كروية بواسطة (p ( rho، theta، varphi) = frac {P_0} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta space sin ^ 4 varphi ) ، حيث (P_0 ) ثابت بوحدات الواط. تُعرَّف القدرة الكلية داخل الكرة (B ) من نصف القطر (r ) متر على أنها ( displaystyle P = iiint_B p ( rho، theta، varphi) ، dV. ) أوجد الإجمالي قوة (ف ).

إجابه:
(P = frac {32P_0 pi} {3} ) واط

54. استخدم التمرين السابق لإيجاد القدرة الكلية داخل كرة (B ) نصف قطرها 5 أمتار عندما تُعطى كثافة القدرة لكل وحدة حجم بواسطة (p ( rho، theta، varphi) = frac { 30} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta sin ^ 4 varphi ).

55. سحابة شحن موجودة في كرة (B ) نصف قطر (r ) سنتيمترات متمركزة في الأصل لها كثافة شحنتها المعطاة بـ (q (x ، y ، z) = k sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} frac { mu C} {cm ^ 3} ) ، حيث (k> 0 ). الشحنة الإجمالية الواردة في (B ) معطاة من خلال ( displaystyle Q = iiint_B q (x، y، z) ، dV. ) أوجد الشحنة الإجمالية (Q ).

إجابه:
(س = كرون ^ 4 بي مو C )

56. استخدم التمرين السابق للعثور على سحابة الشحن الإجمالية الموجودة في كرة الوحدة إذا كانت كثافة الشحن (q (x، y، z) = 20 sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} فارك { mu C} {سم ^ 3} ).

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: #1# جميع قواعد الرياضيات من الصفر-الجزء الاول- (ديسمبر 2021).