مقالات

4: قانون الجيب وقانون جيب التمام - الرياضيات


في السابق ، استخدمنا العلاقات المثلثية الأساسية في المثلثات القائمة للعثور على مسافات وزوايا غير معروفة. لذلك ، من علاقات المثلث القائم ، يمكننا اشتقاق العلاقات التي يمكن استخدامها في أي مثلث.

  • 4.1: قانون الجيوب
    يعتمد قانون الجيب على علاقات المثلث القائم الزاوية التي يمكن إنشاؤها بارتفاع المثلث.
  • 4.2: قانون الجيوب - الحالة الغامضة
    تظهر الإجابات المتعددة عندما نستخدم الدوال المثلثية العكسية. بالنسبة للمسائل التي نستخدم فيها قانون الجيب بزاوية واحدة وضلعان ، قد يكون هناك مثلث واحد محتمل أو مثلثين محتملين أو لا يوجد مثلثات محتملة. هناك ستة سيناريوهات مختلفة تتعلق بالحالة الغامضة لقانون الجيب: ثلاثة ينتج عنها مثلث واحد ، وينتج واحد عن مثلثين وينتج اثنان عن عدم وجود مثلث.
  • 4.3: قانون جيب التمام
  • 4.4: التطبيقات

الصورة المصغرة: قانون جيب التمام بزوايا حادة. (CC BY SA 3.0 Unported؛ Scaler عبر Wikipedia)


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

بالرغم من أن المثلثات القائمة تسمح لنا بحل العديد من التطبيقات ، إلا أنه من الشائع أكثر أن نجد سيناريوهات حيث لا يكون للمثلث الذي نهتم به زاوية قائمة.

تكتشف محطتا رادار تقعان على بعد 20 ميلا كلاهما جسم غامض يقع بينهما. زاوية الارتفاع المقاسة بالمحطة الأولى هي 15 درجة. زاوية الارتفاع المقاسة بالمحطة الثانية هي 35 درجة. ما هو ارتفاع الجسم الغريب؟

نرى أن المثلث الذي شكله الجسم الغريب والمحطتان ليس مثلثًا قائمًا. بالطبع ، في أي مثلث يمكننا رسم خط عمودي من رأس واحد إلى الجانب المقابل ، لنشكل مثلثين قائم الزاوية ، ولكن سيكون من الجيد أن يكون لدينا طرق للعمل مباشرة مع المثلثات غير القائمة على الزاوية. في هذا القسم ، سنتوسع في حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية ونكيفه مع المثلثات غير القائمة على اليمين.

وسم المثلث القياسي للقسم الفرعي

قبل أن نبدأ في حل المثلثات غير القائمة على اليمين ، يجب أن نقرر أولاً الطريقة القياسية لتمييزها. يوجد أدناه صورة توضح وضع العلامات القياسي للمثلث الذي سنستخدمه في هذا القسم. يتم تعيين نفس زوج الحروف لكل زاوية وجانبها المقابل. تستخدم الأحرف الكبيرة للزوايا ، وتستخدم الأحرف الصغيرة للجوانب المقابلة. من الأهمية بمكان استخدام هذه الاتفاقية عند تطبيق قانون الجيب وقانون جيب التمام.

قانون الفرع من الجيوب

سنشتق الآن ما يعرف بقانون الجيب. يؤسس قانون الجيب علاقة بين أزواج من الزوايا والأضلاع في مثلثات ليست بالضرورة مثلثات قائمة. بالنظر إلى المثلث التعسفي غير الأيمن المسمى بالطريقة القياسية ، يمكننا رسم خط عمودي من أحد الرؤوس إلى الجانب المقابل ، والذي نسميه مؤقتًا (h text <،> ) لإنشاء مثلثين قائم الزاوية. سنستخدم (h ) لإيجاد علاقة بين (a text <،> ) (A text <،> ) (b text <،> ) و (B text < .> )

باستخدام علاقات المثلث القائم ، لدينا

حل كلا المعادلتين من أجل (h text <،> ) نحصل عليها

نظرًا لأن (h ) هو نفسه في كلا المعادلتين ، فإننا نؤسس

بقسمة كلا الجانبين على (أب نص <،> ) نستنتج ذلك

لاحظ أنه كان بإمكاننا رسم (ح ) ليكون عموديًا على (أ ) أو (ب ) بدلاً من (ج نص <.> ) إذا رسمنا (ح ) عموديًا إلى جانب آخر ، يمكننا تحديد ذلك بالمثل

مجتمعة ، تسمى هذه العلاقات الثلاث قانون الجيوب.

قانون الجيوب

إعطاء مثلث بزوايا وجوانب متقابلة موضحة كما هو موضح ،

من أجل الوضوح ، نسمي الجانب (أ ) الجانب المقابل للزاوية (أ نص <.> ) وبالمثل ، نسمي الزاوية (أ ) الزاوية المقابلة للضلع (أ نص <.> ) )

نقوم بالمثل للجانب (ب ) والزاوية (ب ) وللضلع (ج ) والزاوية (ج نص <.> )

عندما نستخدم قانون الجيب ، يمكننا استخدام أي زوج من النسب كمعادلة. في الحالة الأكثر وضوحًا ، نعرف زاويتين وأحد الأضلاع المتناظرة.

مثال 93

في المثلث الموضح أدناه ، أوجد قيمة الأضلاع والزاوية المجهولة.

نوجد الزاوية المجهولة أولًا. بما أن مجموع الزوايا الثلاث يجب أن يساوي 180 درجة ، فيمكننا تحديد ذلك

لإيجاد ضلع مجهول باستخدام قانون الجيب ، نحتاج إلى معرفة الزاوية المقابلة ونسبة أخرى معروفة.

نظرًا لأننا نعرف الزاوية (50 ^ circ ) والجانب المقابل لها ، يمكننا استخدام ( sin (50 ^ circ) / 10 ) كإحدى النسبتين. لحل الضلع (b text <،> ) سنستخدم الزاوية المقابلة لها ، (30 ^ circ text <.> ) باستخدام قانون الجيب يمكننا إعداد المعادلة

لحل المشكلة من أجل (b text <،> ) يمكننا ضرب طرفي المعادلة في (b ) للحصول على ذلك

يمكننا بعد ذلك ضرب كلا الجانبين في مقلوب ( sin (50 ^ circ) / 10 ) لنحصل على (b ) في حد ذاته. لذلك،

وبالمثل ، لحل الجانب (c text <،> ) يمكننا استخدام قانون الجيب لإعداد المعادلة

حل من أجل (c text <،> ) نحصل على ذلك

لقد حللنا الآن جميع الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث ، كما هو موضح أدناه.

مثال 94

ابحث عن ارتفاع الجسم الغريب من بداية القسم.

للعثور على ارتفاع الجسم الغريب ، (ح نص <،> ) يمكننا أولاً إيجاد المسافة من محطة رادار واحدة إلى الجسم الغريب ، المسمى بالجانب (أ ) في الصورة أدناه ثم استخدام علاقات المثلث الأيمن لمعرفة ارتفاع الجسم الغريب ، (h text <.> )

نظرًا لأنه يجب جمع الزوايا في المثلث إلى (180 ) درجة ، فإن الزاوية غير المعروفة للمثلث الموضح أدناه هي (C = 180 ^ circ-15 ^ circ-35 ^ circ = 130 ^ circ text <.> )

نظرًا لأن هذه الزاوية تقابل ضلع الطول 20 ، يمكننا الآن استخدام قانون الجيب لإيجاد طول الضلع (أ ) بإعداد المعادلة

حل من أجل (a text <،> ) نحصل على ذلك

لذلك ، فإن المسافة من محطة رادار واحدة إلى الجسم الغريب حوالي 15 ميلاً.

الآن بعد أن عرفنا طول الضلع (a text <،> ) يمكننا استخدام علاقات المثلث القائم الزاوية لحل (h text <.> )

باستخدام دالة الجيب ، نحصل على ذلك

حل من أجل (h text <،> ) نحصل على ذلك

لذلك ، يبلغ ارتفاع الجسم الغريب 3.876 ميل.

بالإضافة إلى حل المثلثات التي تُعرف فيها زاويتان ، يمكن استخدام قانون الجيب لإيجاد زاوية عند معرفة جانبين وزاوية مقابلة واحدة.

مثال 95

أوجد قيمة الأضلاع والزوايا المجهولة في المثلث الموضح أدناه.

عند اختيار زوج النسب من قانون الجيب المراد استخدامه ، نريد دائمًا اختيار زوج حيث نعرف ثلاثة من المعلومات الأربعة في المعادلة.

في هذه الحالة ، نعرف الزاوية (85 ^ circ ) والجانب المقابل لها ، لذلك سنستخدم النسبة ( sin (85 ^ circ) / 12 text <.> ) بما أن لدينا الآخر الوحيد المعلومة المعروفة هي الضلع الذي يبلغ طوله 9 ، سنستخدم هذا الضلع ونوجد الزاوية المقابلة له. باستخدام قانون الجيب ، نحصل على المعادلة

لحل مشكلة (B text <،> ) يمكننا ضرب طرفي المعادلة في (9 ) للحصول على ذلك

يمكننا الآن استخدام دالة الجيب العكسية لحل (B text <.> ) تذكر أنه عندما نستخدم دالة الجيب العكسية ، فهناك إجابتان محتملتان. باستخدام الآلة الحاسبة ، نحصل على ذلك

لإيجاد الحل المحتمل الآخر ، يمكننا استخدام التناظر للحصول على ذلك

إذا كان (B حوالي 131.656 ^ circ text <،> ) ثم (A almost 180 ^ circ - 85 ^ circ - 131.656 ^ circ = -36.656 ^ circ text <،> ) وهو أمر لا معنى له. لذلك ، يمكننا تجاهل هذا الحل الثاني المحتمل واستنتاج أن الحل الوحيد الممكن لهذه الزاوية هو

الآن بعد أن أصبح لدينا زاويتان ، يمكننا إيجاد الزاوية الثالثة. نظرًا لأن مجموع الزوايا يجب أن يصل إلى (180 ) درجة ، فلدينا ذلك

الآن بعد أن عرفنا (A text <،> ) يمكننا المضي قدمًا كما في الأمثلة السابقة للعثور على الجانب المجهول (a text <.> ) باستخدام قانون الجيب ، نحصل على ذلك

حل من أجل (a text <،> ) نحصل على ذلك

لقد حللنا الآن جميع الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث ، كما هو موضح أدناه.

تنبيه 96

لاحظ أنه في المسألة أعلاه ، عندما نستخدم قانون الجيب لحل زاوية غير معروفة ، يمكن أن يكون هناك حلان ممكنان. يسمى هذا بـ ويمكن أن ينشأ عندما نعرف جانبين وزاوية غير متضمنة. في الحالة الغامضة ، قد نجد أن مجموعة معينة من المعلومات المعطاة يمكن أن تؤدي إلى حلين أو حل واحد أو عدم وجود حل على الإطلاق. ومع ذلك ، عند توفر صورة دقيقة للمثلث أو السياق المناسب ، يمكننا تحديد الزاوية المرغوبة.

مثال 97

معطى (A = 80 ^ circ text <،> ) (a = 120 text <،> ) و (b = 121 text <،> ) ابحث عن الأضلاع والزوايا المقابلة والمفقودة. إذا كان هناك أكثر من حل ممكن ، فقم بإظهار كليهما.

لنبدأ برسم صورة بالمعلومات المقدمة.

لحل المشكلة من أجل (B text <،> ) يمكننا ضرب طرفي المعادلة في (121 ) للحصول على ذلك

يمكننا الآن استخدام دالة الجيب العكسية لحل (B text <.> ) باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا ، نحصل على ذلك

لإيجاد الحل المحتمل الآخر ، يمكننا استخدام التناظر للحصول على ذلك

نظرًا لأن كلا الجوابين منطقيان ، فنحن بحاجة إلى التفكير فيما يحدث لكل منهما. إذا كان (B almost83.224 ^ circ text <،> ) ثم (C almost180 ^ circ-80 ^ circ-83.224 ^ circ almost16.776 ^ circ text <.> ) الآن بعد أن عرفنا (C text <،> ) يمكننا مرة أخرى استخدام قانون الجيب للعثور على (c text <:> )

حل من أجل (c text <،> ) نحصل على ذلك

لقد حللنا الآن جميع المجهول لقيمة (B text <.> )

الآن ضع في اعتبارك الحالة حيث (B almost96.776 ^ circ text <.> ) If (B almost96.776 ^ circ text <،> ) ثم (C almost180 ^ circ- 80 ^ circ-96.776 ^ circ almost3.224 ^ circ text <.> ) الآن بعد أن عرفنا (C text <،> ) يمكننا مرة أخرى استخدام قانون الجيب لإيجاد (c نص <:> )

حل من أجل (c text <،> ) نحصل على ذلك

لقد حللنا الآن جميع المجهول لقيمة (B text <.> ) معًا ، نحصل على وجود مثلثين محتملين مع (a text <،> ) (A text <،> ) و (ب ) على النحو المعطى:

قانون فرع جيب التمام

لنفترض أن قاربًا غادر الميناء ، وسافر 10 أميال ، ودور 20 درجة ، وسافر 8 أميال أخرى. كم يبعد القارب عن الميناء؟

لسوء الحظ ، بينما يسمح لنا قانون الجيب بمعالجة العديد من حالات المثلث غير القائم الزاوية ، فإنه لا يسمح لنا بمعالجة المثلثات حيث يتم تضمين الزاوية المعروفة الواحدة بين جانبين معروفين ، مما يعني أنها ليست زاوية مقابلة لضلع معروف. لهذا ، نحتاج إلى أداة أخرى: قانون جيب التمام.

على غرار قانون الجيب ، ينشئ قانون جيب التمام علاقة بين أضلاع المثلث وزواياه. على وجه الخصوص ، يتعلق بجميع الجوانب الثلاثة و * أي * من الزوايا الثلاث. سنشتقها عن طريق رسم خط عمودي مرة أخرى باستخدام ما نعرفه عن المثلثات القائمة.

بالنظر إلى المثلث غير الأيمن العشوائي ، يمكننا رسم خط عمودي من رأس إلى الجانب المقابل ، والذي نسميه مؤقتًا (h text <،> ) لإنشاء مثلثين قائم الزاوية. سنقسم القاعدة (ب ) إلى قطعتين ، أحدهما سنقوم بتسمية (س نص <.> ) مؤقتًا

من هذه الصورة ، يمكننا إنشاء علاقة المثلث الصحيح

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا أيضًا إثبات ذلك

يمكن حل كلا المعادلتين من أجل (ح ^ 2 )

نظرًا لأن الجانب الأيسر من كل معادلة هو (h ^ 2 text <،> ) يجب أن تكون الجوانب اليمنى متساوية

هذه النتيجة تسمى قانون جيب التمام. إذا رسمنا الخط العمودي على أحد الضلعين الآخرين ، فيمكننا إنشاء هذه العلاقة باستخدام أي زاوية. الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هو أن الجانب الأيمن من المعادلة يتضمن زاوية والأضلاع المجاورة لتلك الزاوية بينما يتضمن الجانب الأيسر من المعادلة الضلع المقابل لتلك الزاوية.

قانون جيب التمام

إعطاء مثلث بزوايا وجوانب متقابلة موضحة كما هو موضح ،

لاحظ أنه إذا كانت إحدى زوايا المثلث 90 درجة ، فإن الصيغة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos (C) ) تبسط إلى (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) منذ ( cos (90 ^ circ) = 0 text <.> )

يجب أن تتعرف على هذا باعتباره نظرية فيثاغورس. في الواقع ، يسمى قانون جيب التمام أحيانًا بـ لأنه يوسع نظرية فيثاغورس إلى مثلثات غير قائمة.

بالإضافة إلى إيجاد الضلع المفقود المقابل لزاوية واحدة معروفة ، يسمح لنا قانون جيب التمام بإيجاد زوايا المثلث عندما نعرف الأضلاع الثلاثة.

مثال 98

بالنظر إلى (A = 25 ^ circ text <،> ) (b = 10 text <،> ) و (c = 20 text <،> ) أوجد الضلع والزوايا المفقودة.

لنرسم أولًا مثلثًا بكل المعلومات المعطاة.

نظرًا لأننا لا نفتقد سوى طول ضلع واحد وهو مقابل زاوية معروفة ، فسنستخدم قانون جيب التمام لإيجاد (a text <.> ) قانون جيب التمام يقول ذلك

في هذه المرحلة ، يمكننا استخدام قانون الجيب أو قانون جيب التمام لإيجاد زاوية أخرى ، لكننا سنستخدم قانون جيب التمام. للعثور على (B text <،> ) لدينا

باستخدام دالة جيب التمام العكسي ، نحصل على (B حوالي 21.13 ^ circ text <.> ) أخيرًا ، للعثور على (C ) نستخدم حقيقة وجود (180 ^ circ ) في مثلث:

لاحظ أنه نظرًا لأن جيب التمام العكسي يمكن أن يُرجع أي زاوية بين 0 و 180 درجة ، فلن تكون هناك أي حالات ملتبسة عند استخدام قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.


4: قانون الجيب وقانون جيب التمام - الرياضيات

ستتعلم في هذا الدرس حل أي مثلث.

يعمل SOHCAHTOA فقط في المثلثات اليمنى !!

على محمل الجد ، فقط المثلثات الصحيحة. ليست كل مشكلة على الإطلاق ، إنها مثلثات صحيحة فقط. حقيقة.

قانون الجيب وقانون جيب التمام

يمكنك استخدام قانون الجيب لحل المثلث إذا أعطيت لك

• قياس زاويتين وأي طول ضلع

• طولا ضلعين وقياس زاوية غير مشمول (SSA).

قانون الجيب وقانون جيب التمام

مثال 2 أ: استخدام قانون الجيب

ابحث عن المقياس. الأطوال الدائرية لأقرب جزء من عشرة وقياس الزاوية لأقرب درجة.

استبدل القيم المعطاة.

اقسم كلا الطرفين على sin 39 °.

قانون الجيب وقانون جيب التمام

لا يمكن استخدام قانون الجيب لحل كل مثلث. إذا كنت تعرف طولي ضلع وقياس الزاوية المضمنة أو إذا كنت تعرف أطوال الأضلاع الثلاثة ، فلا يمكنك استخدام قانون الجيب. بدلاً من ذلك ، يمكنك تطبيق قانون جيب التمام.

قانون الجيب وقانون جيب التمام

يمكنك استخدام قانون جيب التمام لحل المثلث إذا أعطيت لك

• طولين ضلعين وقياس الزاوية المضمنة (SAS) أو

أنت بحاجة إلى أن يكون لديك جانبان على الأقل لاستخدام قانون الكوزين

قانون الجيب وقانون جيب التمام

الزاوية المشار إليها في قانون جيب التمام تقع عبر علامة المساواة من جانبها المقابل.

قانون الجيب وقانون جيب التمام

مثال 3 أ: استخدام قانون جيب التمام

ابحث عن المقياس. الأطوال الدائرية لأقرب جزء من عشرة وقياس الزاوية لأقرب درجة.


لنلق نظرة على المثلث القائم أدناه. أستخدم مثلثًا قائم الزاوية حتى نتمكن من توضيح قانون الجيب من خلال تطبيق المألوف سوه-كاه-تو.

كمثال ، لنلقِ نظرة على الزاويتين $ A $ و $ C $.

  • نرى أن $ displaystyle sin (A) = frac= فارك < نص> < نص> دولار. هذا يعطي $ displaystyle frac <1>= frac < sin (A)> $
  • نرى أن $ displaystyle sin (C) = frac= فارك < نص> < نص> دولار. هذا يعطي $ displaystyle frac <1>= فارك < الخطيئة (ج)>$

بما أن لدينا تعبيرين لـ $ displaystyle frac <1>$ ، يمكننا ضبط التعبيرات على قدم المساواة والحصول على $ frac < sin (A)> = frac < sin (C)>$ هذا هو نوع العلاقة الأساسي في قانون الجيوب.

اتضح أن هذه العلاقة تنطبق على أي زاويتين تختارهما (لذلك لا تقتصر على الزوايا $ A $ أو $ C $). اتضح أيضًا أن قانون الجيب لا ينطبق فقط على الزوايا القائمة ، ولكن أيضًا للزوايا الحادة والمنفرجة أيضًا.

ومع ذلك ، فإن طريقة اشتقاق قانون الجيب للحادة والمنفرجة مختلفة ، لقد أظهرت فقط نهج الزوايا القائمة. ولكن يُرجى السؤال أكثر عما إذا كنت ترغب في رؤية المزيد من الشرح لكيفية عمل قانون الجيب هذا مع الزوايا الحادة / المنفرجة.


قوانين الجيب والجيب

يكفي لإظهار المعادلة الأخيرة منذ الإصدار الأول يختلف فقط في تسمية المثلث.

من السهل إلى حد ما اتباع تفسير لقانون الجيب ، ولكن في بعض الحالات يتعين علينا & rsquoll أن ننظر في جيوب الزوايا المنفرجة.

أولاً ، قم بإسقاط خط عمودي ميلادي من أ وصولا إلى القاعدة قبل الميلاد للمثلث. القدم د من هذا عمودي سوف تقع على الحافة قبل الميلاد للمثلث عند كلتا الزاويتين ب و ج حادة. ولكن إذا كانت الزاوية ب هو منفرج ، ثم القدم د سوف تكذب عليها قبل الميلاد تمتد في اتجاه ب. بعد إذا كانت الزاوية ج منفرجة إذن د سوف تصطف على قبل الميلاد تمتد في اتجاه ج. لحسن الحظ ، فإن الحجة هي نفسها في جميع الحالات الثلاث.

يترك ح تدل على طول هذا الخط ميلادي، أي ارتفاع (أو ارتفاع) المثلث.

عندما الزاوية ب هو حاد ، ثم الخطيئة ب = ح / ج. لكن هذا صحيح حتى عندما ب هي زاوية منفرجة كما في الشكل الثالث. هناك زاوية ABC منفرجة. لكن جيب الزاوية المنفرجة هو نفس جيب ملحقها. هذا يعني الخطيئة ABC هو نفس الخطيئة ABD ، أي كلاهما متساويان ح / ج.

وبالمثل ، لا يهم ما إذا كانت الزاوية ج حاد أو منفرج ، خطيئة ج = ح / ب في أي حال.

تخبرنا هاتان المعادلتان بذلك ح يساوي كليهما ج الخطيئة ب و ب الخطيئة ج. لكن من المعادلة ج الخطيئة ب = ب الخطيئة ج ، يمكننا بسهولة الحصول على قانون الجيب:

قانون جيب التمام

هناك نسختان أخريان من قانون جيب التمام ،

أ 2 = ب 2 + ج 2 – 2قبل الميلاد كوس أ و ب 2 = أ 2 + ج 2 – 2أ كوس ب.

من أجل معرفة سبب صلاحية هذه القوانين ، يتعين علينا & rsquoll النظر في ثلاث حالات. بالنسبة للحالة 1 ، نحن & rsquoll نأخذ الزاوية ج أن تكون بليد. في الحالة 2 ، الزاوية ج ستكون الزاوية الصحيحة. في الحالة 3 ، الزاوية ج ستكون حادة.

يمكننا اشتقاق المعادلات التالية من الشكل:

ج 2 = د 2 + ح 2
ب 2 = ه 2 + ح 2
د = أ + ه
كوس ج = & - ه / ب

هذه المعادلات والجبر البسيط تنهي الحجة على النحو التالي:

ج 2 = د 2 + ح 2
= (أ + ه) 2 + ح 2
= أ 2 + 2ae + ه 2 + ح 2
= أ 2 + ب 2 + 2ae
= أ 2 + ب 2 و - 2أب كوس ج

وبالتالي ، فإن قانون جيب التمام يكون صالحًا عندما ج هي زاوية منفرجة.

الحالة 2. الآن ضع في اعتبارك الحالة عندما تكون الزاوية عند ج صحيح. جيب تمام الزاوية القائمة هو 0 ، لذا فإن قانون جيب التمام ، ج 2 = أ 2 + ب 2 – 2أب كوس ج ، يبسط ليصبح متطابقة فيثاغورس ، ج 2 = أ 2 + ب 2 ، للمثلثات القائمة التي نعلم أنها صالحة.

الحالة 3. في هذه الحالة نفترض أن الزاوية ج مثلث حاد. أسقط خطًا متعامدًا ميلادي من أ وصولا إلى القاعدة قبل الميلاد للمثلث. القدم د من الإرادة العمودية (1) تقع على الحافة قبل الميلاد إذا كانت الزاوية ب حاد ، (2) يتطابق مع النقطة ب إذا كانت الزاوية ب على حق ، أو (3) الاستلقاء على الجانب قبل الميلاد ممتد إذا كانت الزاوية ب منفرجة.

يترك ح تشير إلى ارتفاع المثلث ، دعونا د دل BD ، و ه دل قرص مضغوط.

ثم يمكننا قراءة العلاقات التالية من الرسم التخطيطي:

ج 2 = د 2 + ح 2
ب 2 = ه 2 + ح 2
كوس ج = ه / ب
د 2 = (هأ) 2

تتطلب المعادلة الأخيرة تفسيرًا. إذا كانت النقطة د تقع على الجانب قبل الميلاد، ومن بعد د = أ & - ه ، لكن اذا د تقع على قبل الميلاد ممتد ، إذن د = ه & - أ. في كلتا الحالتين، د 2 = (ه & - أ) 2 .

هذه المعادلات والقليل من الجبر تنهي البرهان على النحو التالي:

ج 2 = د 2 + ح 2
= د 2 و - ه 2 + ب 2
= (د & - ه) (د + ه) + ب 2
= (أ & - 2ه) أ + ب 2
= أ 2 + ب 2 و - 2ae
= أ 2 + ب 2 و - 2أب كوس ج

وهكذا ، نعلم الآن أن قانون جيب التمام يكون صالحًا عند كلتا الزاوية ج حاد ، وقد أنهينا جميع الحالات الثلاث.

بالمناسبة ، أدرج إقليدس في كتابه عناصر زوجان من الافتراضات ، II.12 و II.13 ، تشبهان إلى حد كبير قانون جيب التمام ، لكنهما في الواقع ليسا قانون جيب التمام ، بالطبع ، لأن علم المثلثات لم يتم تطويره في زمن إقليدس ورسكووس.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


4: قانون الجيب وقانون جيب التمام - الرياضيات

= ضلع المثلث ABC يقسم على جيب الزاوية المقابل

    لإيجاد المثلث ABC ، ​​b و c ، نستخدم الصيغة.

لإيجاد المثلث ABC ، ​​a و c ، نستخدم الصيغة.

لإيجاد المثلث ABC ، ​​a و b ، نستخدم الصيغة.

من المهم معرفة قانون الجيب وجيب التمام حتى يمكن إيجاد حلول لمشاكل تطبيق حساب المثلثات. من المهم معرفة القاعدة التي يجب استخدامها في قانون الجيب وجيب التمام لتحقيق حل جيد لقانون الجيب وجيب التمام.

يتم تقديم السيناريوهات التي لا تُعرف فيها بعض زوايا أو جوانب المثلث ، لذا يتم استخدام قانون الجيب وجيب التمام في الأمثلة. يتم إعطاء الاختصارات للحالات المختلفة لقانون الجيب والحالات المختلفة لقانون جيب التمام.

ميزات البرنامج التعليمي المحددة:

• مخططات توضح مختلف سيناريوهات قانون الجيب وجيب التمام.
• الرسوم التوضيحية التي تبين جميع جوانب قانون الجيب وجيب التمام.

• خريطة مفاهيم توضح الروابط البينية للمفاهيم الجديدة في هذا البرنامج التعليمي وتلك المقدمة سابقًا.
• شرائح التعريف تقدم المصطلحات حسب الحاجة.
• التمثيل المرئي للمفاهيم
• أمثلة متحركة - تم إعدادها خطوة بخطوة
• يتم تقديم ملخص موجز في ختام البرنامج التعليمي.

شاهد جميع الدروس الـ 24 في ما قبل حساب التفاضل والتكامل ، بما في ذلك دروس المفاهيم والتدريبات على المشكلات وأوراق الغش:
علم نفسك قبل التفاضل والتكامل بصريًا في 24 ساعة


1463 متى يجب استخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام

لسنوات ، قمت بتدريس طلابي قانون الجيب وقانون جيب التمام باستخدام آلة حاسبة علمية محمولة فقط. لسوء الحظ ، لا يستطيع الكثير منهم الوصول إلى واحدة أثناء الوباء. لقد وجدت بعض قوانين الجيب وقانون حاسبات جيب التمام على الإنترنت ، لكنني شعرت أنهم جميعًا يجدون حلولًا عن طريق السحر ، دون الحاجة إلى أي فهم. أريد أن يفهم طلابي متى يستخدمون قانون الجيب ومتى يستخدمون قانون جيب التمام.

متى يجب علي استخدام قانون الجيب؟

استخدم قانون الجيب عندما تحصل على هذه المعلومات الثلاثة حول المثلث: Angle-Angle-Side أو Angle-Side-Angle أو Angle-Side-Side. إليكم رسمًا بيانيًا يوضح كل حالة وكيف يتم تحويل قانون الجيب للحصول على الزاوية أو الجانب المفقود:

لقد استخدمت Desmos لإنشاء آلة حاسبة لقانون الجيب تستخدم المعادلات أعلاه المشتقة من قانون الجيب. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. لا تزال حاسبة قانون الجيب هذه تجبرك على التفكير في المعلومات التي يتم تقديمها والمعادلة التي يجب عليك استخدامها. في مشكلتك ، ستكون هناك زاوية معروفة وضلع معروف مقابل بعضهما البعض. قم بتسمية هذه القيم المعروفة A و a ، على التوالي. إذا كانت لديك زاوية أخرى ، فسمها ب. إذا كان لديك جانب آخر ، فقم بتسميته ب. ابحث عن المعادلة المناسبة في الآلة الحاسبة ، واستبدل المتغيرات بقيمها ، وسيقوم Desmos بحساب الإجابة. إذا أعطيت Angle-Side-Side ، فستحتاج إلى استخدام دالة الجيب العكسي ، وقد يكون لديك حلين. وبالتالي ، إذا كانت الزاوية المعطاة حادة ، فتأكد من استبدال "Bacute" بالزاوية الحادة الموجودة في الصيغة أعلاه بحيث يكون لديك أيضًا الحل الثاني. لا يمكن أن يحتوي المثلث على زاويتين منفرجتين ، لذا لا تعطِ حلين للمثلث إذا كان A منفرجة!

قد يحاول بعض الأشخاص إضافة أشرطة تمرير إلى هذه الآلة الحاسبة لأنهم لن يضطروا بعد ذلك إلى التفكير كثيرًا. ستؤدي إضافة أشرطة التمرير إلى إرباك Desmos مع العديد من المتغيرات ، لذلك قمت أيضًا بوضع قانون الجيب باستخدام أشرطة التمرير. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. في مشكلتك ، ستكون هناك زاوية معروفة وضلع معروف مقابل بعضهما البعض. قم بتسمية هذه القيم المعروفة A و a ، على التوالي. إذا كانت لديك زاوية أخرى ، فسمها ب. إذا كان لديك جانب آخر ، فقم بتسميته ب. بدلاً من كتابة القيم في المعادلة ، يمكنك كتابة القيم على هيئة منزلقات. يتم تعيين الإعداد الافتراضي لجميع أشرطة التمرير على 0 ، لذلك إذا كان أي من الحلول الخاصة بك هو 0 أو غير محدد ، فأنت إما تبحث في المكان الخطأ لإجابتك أو أنك لم تدخل معلومات كافية. إذا كنت تستخدم هذه الآلة الحاسبة ، فستحتاج إلى تحديثها وإعادة تحميلها بعد كل مشكلة.

متى يجب علي استخدام قانون جيب التمام؟

قانون جيب التمام سهل بما يكفي لكتابة: c² = a² + b² - 2ab cos C. يبدو مشابهًا إلى حد ما لنظرية فيثاغورس ، وعندما تكون C تساوي 90º ، فهذا بالضبط ما هو عليه.

استخدم قانون جيب التمام عندما تحصل على هذه المعلومات الثلاث حول المثلث: جانب - جانب - جانب - جانب - جانب - جانب. هذا رسم رسمته يظهر كلتا الحالتين:

نظرًا لأن قانون جيب التمام يتطلب إدخال كل من a و b مرتين ، فقد قررت المضي قدمًا واستخدام أشرطة التمرير في حاسبة قانون جيب التمام لجعل الكتابة أسهل قليلاً. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. إذا تم إعطاؤك Side-Angle-Side ، فدع الزاوية تكون C. إذا أعطيت Side-Side-Side ، فقم بتسمية الجانب المقابل للزاوية التي تبحث عنها ، c. لا يهم الجانب الذي تسميه أ أو ب ، ولكن هذا الجانب المقابل يجب أن يكون ج. ستحتاج إلى استخدام دالة جيب التمام المعكوسة ، لكن لديّ ذلك بالفعل في الآلة الحاسبة. ستحتاج إلى التحديث وإعادة التحميل قبل بدء مشكلة جديدة.

نظرًا لأن هذا هو المنشور رقم 1463 ، فسوف أكتب قليلاً عن هذا الرقم.

عوامل 1463:

نظرًا لأن كلا من 14 و 63 من مضاعفات 7 ، يمكننا التأكد من أن 1463 يقبل القسمة على 7.

  • 1463 رقم مركب.
  • التحليل الأولي: 1463 = 7 × 11 × 19
  • لا يحتوي 1463 على أسس أكبر من 1 في التحليل الأولي ، لذلك لا يمكن تبسيط 1463.
  • الأسس في التحليل الأولي هي 1 و 1 و 1. بإضافة واحد إلى كل أس وضربنا نحصل على (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8. لذلك 1463 لديه 8 عوامل بالضبط.
  • تم تحديد عوامل عام 1463 مع شركائهم في زوج العامل في الرسم أدناه.

نظرًا لأن أزواج عوامل 1463 الأربعة تحتوي على أرقام فردية فقط ، فيمكن كتابة 1463 كفرق بين مربعين بناءً على هذه الطرق الأربع:

732² - 731² = 1463 (732 هو متوسط ​​1 و 1463 ، و 731 أقل بواحد.)
108² - 101² = 1463 (108 هو متوسط ​​7 و 209 ، و 101 أقل بسبع).
72² - 61² = 1463 (72 هو متوسط ​​11 و 133 ، و 61 أقل بأحد عشر).
48² - 29² = 1463 (48 هو متوسط ​​19 و 77 ، و 29 أقل ب 19).


ما هو قانون الجيوب؟

قانون الجيب أو يشار إليه أحيانًا بقاعدة الجيب ، هو قاعدة تربط جوانب المثلث بجيب الزوايا المقابلة.

قبل الانتقال إلى قانون الجيب ، دعونا أولاً نفهم معنى مصطلح الجيب.

فكر في مثلث قائم الزاوية ABC أقل.

بشرط تيار متردد هو وتر المثلث القائم ABC ، ثم جيب الزاوية BCA يساوي نسبة الطول AB إلى الطول تيار متردد.

وبالمثل ، جيب الزاوية باك يساوي نسبة الطول قبل الميلاد إلى الطول تيار متردد.

إذن ، جيب الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر.

الآن ، فكر في مثلث مائل ABC ظاهر أدناه. المثلث المائل بدون زاوية قائمة (مثلث بدون زاوية 90 & # 8211 درجة). يُشار إلى هذا المثلث & # 8217s الثلاث زوايا بأحرف كبيرة ، بينما يتم الإشارة إلى الجوانب المقابلة بأحرف صغيرة. لاحظ أن كل ضلع وزاويته المقابلة لهما نفس الحرف.

وفقا لقانون الجيب.

واحد التطبيق الواقعي لقاعدة الشرط هو شريط الجيب ، والذي يستخدم لقياس زاوية الميل في الهندسة.

تشمل الأمثلة الشائعة الأخرى قياس المسافات في الملاحة وقياس المسافة بين نجمين في علم الفلك.


  1. أولاً ، سوف نتعلم كيفية رسم وتسمية مثلث مائل قياسي ، وسيكون نفس نوع الرسم الذي سنستخدمه لهذه الوحدة بأكملها.
  2. حدد التطابق من المعلومات المعطاة ، إما ASA أو AAS ، وقم بإعداد النسب لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المفقودة.
  3. حل كل أجزاء المثلث غير المعروفة.

يتكون تعريف قانون الجيب من ثلاث نسب ، حيث نساوي الأضلاع والزوايا المقابلة لها.

صيغة لقانون الجيب

بمجرد تحديد النسبة التي نحتاج إلى حلها ، نقوم ببساطة بالتعويض في الصيغة أو المعادلة ، والضرب العرضي ، وإيجاد المجهول المفقود (أي الجانب أو الزاوية).

بالإضافة إلى استخدام الضرب التبادلي ، سنستخدم أيضًا دوال المثلث العكسي وآلة حاسبة سهلة الاستخدام لمساعدتنا في إيجاد جميع الأجزاء المفقودة من المثلث.

كما سترى بسرعة ، فإن قانون الجيب ، أو قاعدة الجيب ، كما تسميه Math is Fun ، سريع وسهل الاستخدام وسيكون أداة قيمة في حزام الأدوات الخاص بك لحل المثلثات.


شاهد الفيديو: الدرس 5-4 قانون جيوب التمام. رياضيات 4 (ديسمبر 2021).